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1、第2章 随机变量及其分布习题 21设有函数 试说明能否是某随机变量的分布函数。解：不能，易知对，有：又，因此在定义域内必为单调递增函数。然而在上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。2筐中装有7只蓝球，编号为1，23，4，5，6，7.在筐中同时取3只，以表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量的分布列。解：的可能值为3，4，5，6，7。在7只篮球中任取3个共有种取法。表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情况，故表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取两个，共有种取法，故。表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中
2、任取2个，共有种取法，故，表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中任取2个，共有种取法，故，表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6中任取2个，共有种取法，故。3. 设服从分布，其分布列为 求的分布函数，并作出其图形。解：服从（0-1）分布，其分布律为：01当时，当时，当时，即有： ，其分布图形如下图2-14将一颗骰子抛掷两次，以表示两次所得点数之和，以表示两次中得到的小的点数，试分别求与的分布列。解 以分别记第一次，第二次投掷时的点数，样本空间为 故X的分布列如下：X23456789101112P 1/362/363/364/365/36
3、6/365/364/363/361/351/36Y的取值为1,2,3,4,5,6Y的分布列为：Y123456P11/369/367/365/363/361/365试求下列分布列中的待定系数k（1）（2）（3）为常数。解：（1）由分布列的性质有，所以 （2）由分布列的性质有，所以。或解 由 所以服从几何分布， 故有 。（3）由分布列的性质有 ，所以 。6进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p失败的概率为。（1）将试验进行到出现一次成功为止，以表示所需的试验次数，求的分布列。（此时称服从以p为参数的几何分布。）（2）将试验进行到出现r次成功为止，以表示所需的试验次数，求的分布列。（此时称服从以
4、r,p为参数的巴斯卡分布。）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%。以表示他首次投中时累汁已投篮的次数，写出的分布列，并计算取偶数的概率。解（1）此试验至少做一次，此即X可能值的最小值。若需做k次，则前k-1次试验均失败最后一次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为。（1） 此试验至少做r次，若需做k次，则第k次比为成功，而前k-1次中有r-1次成功，由于各次试验是相互独立的，故分布律为 。（2） 先写出X的分布律。它是题（1）中p=0.45的情形。所求的分布律为 。因故X取偶数的概率为.7有甲、乙 两个口袋，两袋分别装有3个白球和2个黑球。现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取4个球，
5、求从乙袋中取出的4个球中包含的黑球数的分布列。解：分为以下两种情况，即从甲袋中取一球放入乙袋，取出的球为白球的概率为，黑球为。（1） 假设取出的是白球，乙袋此时为4白球2黑球。从中取出4球，黑球数可为0,1,2，概率如下 , , .（2） 假设取出的是黑球，乙袋此时为3白球3黑球，从中取出4球，黑球数可为1,2,3.概率如下 , , .综合以上两种情况，又已知从甲袋取出为白球的概率为，黑球是.所以 分布列为X01238. 设服从 Poisson 分布，且已知，求。解：由于即X的分布律为于是有由条件可得方程 解得(舍去) 所以于是(查表)。9一大楼装有5套同类型的空调系统，调查表明在任一时刻t每
6、套系统被使用的概率为0.1，问在同一时刻 （1）恰有2套系统被使用的概率是多少? （2）至少有3套系统被使用的概率是多少? （3）至多有3套系统被使用的概率是多少? （4）至少有1套系统被使用的概率是多少？解： 以表示同一时刻被使用的设备的个数，则。（3） 所求的概率为。（4） 所求的概率为（5） 所求的概率为（6） 所求的概率为10在纺织厂里一个女工照顾800个纱锭。每个纱锭旋转时，由于偶然的原因，纱会被扯断。设在某段时间内每个纱锭上的纱被扯断的概率是0.005,求在这段时间内断纱次数不大于10的概率。解：设纱被扯断的概率是P，P=0.005.用X表示在某段时间内的纱断次数，所求的概率为，而
7、利用柏松定理，有：，查表得：11一寻呼台每分钟收到寻呼的次数服从参数为4的泊松分布。求（1）每分钟恰有7次寻呼的概率。（2）每分钟的寻呼次数大于10的概率。解：（1）（2）12. 某商店出售某种商品,据历史记载分析,月销售量服从泊松分布，参数为5，问在月初进货时要库存多少件此种商品，才能以0.999的概率满足顾客的需要。 解：设表示商品的月销售量，则由服从参数为5的泊松分布，其概率分布为由题意，应确定 m 使得即 ，查泊松分布表得 m+1=14,或 m=13，即在月初进货时，至少要库存13件此种商品。13确定下列函数中的待定系数a，使它们成为分布密度，并求它们的分布函数。（1） （2） 。解：
8、（1）因时 ，且x为其他值时，为0. 根据公式有： 解得.分布函数为： (2)对 有 所以.分布函数为：14设随机变量的分布函数为 （1）求； （2）求分布密度。解：（1） （2），15. 设随机变量的分布密度为,且是随机变量的分布函数,则对任意实数a有试证之。 证明：因，有 易知 。 又为偶函数，有，即 。所以有 将代入上式，得：，即得证。16. 设k在(0,5)上服从均匀分布，求方程有实根的概率。 解：x的二次方程有实根的充要条件是它的判别式 即 解得。 由假设k在区间(0,5)上服从均匀分布，其概率密度为 故这个二次方程有实根的概率为 17设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（以分计）服从
9、指教分布，其分布密度为 某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次。以表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。写出的分布律，并求。解：顾客在窗口等待服务超过10min的概率为 故顾客去银行一次因未等到服务而离开的概率为.从而Y的分布率为18设随机变量服从正态分布试求 （1）；（2）；（3）确定C，使得。 解：，（1）（2）（3）19在电源电压不超过200伏，在200-240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2。假设电源电压服从正态分布，试求：(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200-240之间
10、的概率。解：（1）由题意知则电压不超过200V： 电压在200240V： 电压超过240V： 设电子元件损坏为事件A，则 (2)设电源电压在200240V之间为事件B则 20一个袋中有6个一样的球,其中3个球各标有一个点,2个球各标有2个点,一个球上标有3个点,从袋中任取3个球,设表示这3个球上点数的和。（1）求的分布列；（2）若任取10次（有放回抽样），求8次出现的概率；（3）求的概率分布。解：（1）X34567(2) 此为贝努利概型，因，所以，任取10次出现X=6 k 次的概率为的概率为 （3） 6810121421设随机变量的分布列为-2-1013求的分布列。解：所有可能取值为0，1，4
11、，9.故X的分布律为：Y014922设随机变量在区间内服从均匀分布。（1）求的分布密度。（2）求的分布密度。解：（1）Y的分布函数当y0时，（注意x在有值，y在）， （2）（注意x在有值，y在）， 23（1）设随机变量的分布密度为。求的分布密度。 （2）设随机变量的分布密度为 求的分布密度。解：（1），即有它严格单调增加，解得且有的分布密度为： （2），即有，在时，严格单调增加，具有反函数又有的分布密度为： 24设随机变量（1）求的分布密度。（2）求的分布密度，（3）求的分布密度。解:(1) 因为，故不取负值，从而，若，则；若，注意到，故的分布函数为：从而，时，。于是，的概率密度为(2) 因故在取值，从而时；若，注意到，故的分布函数为：故时，于是的概率密度为(3) 对于，显然，当时；若，注意到，故的分布函数为：故时，于是的概率密度为25. 设随机变量服从参数为2的指数分布，证明：在区间上服从均匀分布。 证明：的分布函数为：故为的分布函数，由于，有，易得：（1）当y0时，G(y)0，（2）当y1时，G(y)1，（3）当0y1时，总之有所以在区间（0，1）上服从均匀分布。
