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1、2015年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2015天津）已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=2，3，5，6，集合B=1，3，4，6，7，则集合AUB=（）A2，5B3，6C2，5，6D2，3，5，6，82（5分）（2015天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A3B4C18D403（5分）（2015天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A10B6C14D184（5分）（2015天津）设xR，则“|x2|1”是“x2+x20”的（）A充分而不
2、必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5 （5分）（2015天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）AB3CD6 （5分）（2015天津）已知双曲线=1 （a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A=1B=1C=1D=17（5分）（2015天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|xm|1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）AabcBacbCca
3、bDcba8（5分）（2015天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=bf（2x），其中bR，若函数y=f（x）g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A（，+）B（，）C（0，）D（，2）二.填空题（每小题5分，共30分）9（5分）（2015天津）i是虚数单位，若复数（12i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为10（5分）（2015天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积m311（5分）（2015天津）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为12（5分）（2015天津）在（x）6的展开式中，x2的系数为13 （5分）（2015天津）在ABC中，内角A，B，C所对的
4、边分别为a，14 b，c已知ABC的面积为3，bc=2，cosA=，则a的值为14 （5分）（2015天津）在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB=2，BC=1，ABC=60动点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则的最小值为三.解答题（本大题共6小题，共80分）15（13分）（2015天津）已知函数f（x）=sin2xsin2（x），xR（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间，内的最大值和最小值16（13分）（2015天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这
5、8名运动员中随机选择4人参加比赛（）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望17（13分）（2015天津）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABAC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点（）求证：MN平面ABCD（）求二面角D1ACB1的正弦值；（）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长18（13分）（2015天津）已知数列an满足an+2=qan（q为实
6、数，且q1），nN*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和an的通项公式；（2）设bn=，nN*，求数列bn的前n项和19（14分）（2015天津）已知椭圆+=1（ab0）的左焦点为F（c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=（）求直线FM的斜率；（）求椭圆的方程；（）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围20（14分）（2015天津）已知函数f（x）=nxxn，xR，其中nN，且n2（）讨论f（x）的单调性；（）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交
7、点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）g（x）；（）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2x1|+2答案：1、解：全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，集合A=2，3，5，6，集合B=1，3，4，6，7，UB=2，5，8，则AUB=2，5故选：A2、解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+6y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即A（0，3）将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=36=18即z=x
8、+6y的最大值为18故选：C3、解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i5，i=4，S=14不满足条件i5，i=8，S=6满足条件i5，退出循环，输出S的值为6故选：B4、解：由“|x2|1”得1x3，由x2+x20得x1或x2，即“|x2|1”是“x2+x20”的充分不必要条件，故选：A5、解：由相交弦定理可得CMMD=AMMB，24=AM2AM，AM=2，MN=NB=2，又CNNE=ANNB，3NE=42，NE=故选：A6、解：由题意，=，抛物线y2=4x的准线方程为x=，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，c=，a2+b2=c2=7，a=2，b=，双
9、曲线的方程为故选：D7、解：f（x）为偶函数；f（x）=f（x）；2|xm|1=2|xm|1；|xm|=|xm|；（xm）2=（xm）2；mx=0；m=0；f（x）=2|x|1；f（x）在0，+）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f（0）；0log23log25；cab故选：C8、解：g（x）=bf（2x），y=f（x）g（x）=f（x）b+f（2x），由f（x）b+f（2x）=0，得f（x）+f（2x）=b，设h（x）=f（x）+f（2x），若x0，则x0，2x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2+x+x2，若0x2，则2x0，02
10、x2，则h（x）=f（x）+f（2x）=2x+2|2x|=2x+22+x=2，若x2，x0，2x0，则h（x）=f（x）+f（2x）=（x2）2+2|2x|=x25x+8即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+，当x2时，h（x）=x25x+8=（x）2+，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）g（x）恰有4个零点，即h（x）=b恰有4个根，则满足b2，故选：D9、解：由（12i）（a+i）=（a+2）+（12a）i为纯虚数，得，解得：a=2故答案为：210.解：根据几何体的三视
11、图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；该几何体的体积为V几何体=2121+122=故答案为：11、解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=01（xx2）dx而01（xx2）dx=（）|01=曲边梯形的面积是故答案为：12、解：（x）6的展开式的通项公式为Tr+1=（x）6r（）r=（）rx62r，令62r=2，解得r=2，展开式中x2的系数为=，故答案为：13、解：A（0，），sinA=SABC=bc=，化为bc=24，又bc=2，解得b=6，c=4由余弦定理可得
12、：a2=b2+c22bccosA=36+1648=64解得a=8故答案为：814、解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以=（）（）=（）（）=21cos60+11cos60+21+11cos120=1+=（当且仅当时等号成立）；故答案为：15、解：（）化简可得f（x）=sin2xsin2（x）=（1cos2x）1cos（2x）=（1cos2x1+cos2x+sin2x）=（cos2x+sin2x）=sin（2x）f（x）的最小正周期T=；（）x，2x，sin（2x）1，sin（2x），f（x）在区间，内的最大值和最小值分别为，16、解：（）由已知，有P（A）=，事件A发生的概率为；（）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=k）=（k=1，2，3，4）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P随机变量X的数学期望E（X）=17、（）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，2，2），又M、N分别为B1C、D1D的中点，M（1，1），N（1，2，1）由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，0），=0，MN
