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1、鸡兔同笼问题教学设计 山东省潍坊市坊子工业发展区实验学校李培培一、课标分析义务教育数学课程标准（2011年版）在“学段目标”中提出。“在观察、实验、精想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决回題方法的多样性”“经历与他人合作交流解诀问题的过程，尝试解释自己的思考过程”“在运用数学知识和方法解决问題的过程中，认识数学的价值”。义务教育数学课程标准（2011年版）在“课程内容”的中提出：“结合实际情境，体验发现和提出回題、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思，
2、进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。义务教育数学课程标准（2011年版）将数学基本思想作为“四基”之一提出，模型思想作为10个核心概念中唯一以“思想”之称的概念，实际明示它是数学基本思想之一。教学过程中，要帮助学生积累思维的经验，逐渐形成自己的合理思维方法。鸡免同笼回題是我国民间流传下来的一类数学妙題，它集題型的趣味性、解法的多样性、应用的广泛性于一体，具有训练智能的教育功能和价值，是实施开放式教学的好題材。二、教材分析“鸡兔同笼”问题是青岛版小学数学六年级下册是五单元的智慧广场，同时也是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在孙子算经中。教材在本单元安排“鸡
3、兔同笼”问题，一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会代数方法的一般性。“鸡兔同笼”的原题数据比较大，不利于首次接触该类问题的学生进行探究，因此教材先编排了8只头，26只脚，通过化繁为简的思想，帮助学生先探索出解决该类问题的一般方法后，再解决孙子算经中数据比教大的原题。解决“鸡兔同笼”问题时，教材展示了学生逐步解决问题的过程，既猜测、列表、假设或方程解。三、学情分析鸡兔同笼问题是我国古代著名数学趣题，容易激发学生的探究兴趣，学生能够用一一列举的办法解决简单问题，对假设法有初步的认识，教学中抓住其特点，讲解算理，让学生逐步掌握，根据具体问题引导学生分析理解，拓宽学生思路。能够用简单的
4、一元一次方程解决问题，数量关系直观易懂，加以倡导。四、教学设计教学目标：1. 结合生活情境，让学生经历解决问题的过程，通过不断的尝试，调整，发现规律并学会用假设的策略解决问题，从而建立数学模型。2.引导学生在探究过程中整理数据，进而发现规律并总结出假设法。体验不同解决问题策略的价值，最终提升问题解决的能力。3.渗透中国传统文化，了解有关鸡兔同笼的数学史，培养学生的合作意识，在现实情景中，在交流的过程中，使学生感受到数学思想方法的运用与解决实际问题的联系，提高学生解决问题的能力和自信心，进而让学生体会数学的价值。教学重点：探究解决“鸡兔同笼”问题模型的一般方法。教学难点：沟通策略之间的内在联系，
5、由学生自主建立假设策略的数学模型。课前准备：教师、课件、练习本。教学过程：一、 玩游戏、建构问题（5分钟） 师：上课。师：同学们，喜欢养小动物吗？你养过哪些小动物呢？生：小狗小猫小兔子 师：老师家里也养了很多动物，看到这两种动物（鸡和兔子），老师有感而发。想了几道题想考考大家，敢不敢接受老师的挑战呢？师：做好准备了吗？两只鸡和三只兔子总共有几只脚？（黑板贴画的形式展示出来）生：16只。师：说说你的做法。生：一只鸡有2只脚，一只兔子有4只脚，所以两只鸡和三只兔子总共有16只脚。师：同意吗？再来个？做好准备了？师：一个笼子里有3鸡和6只兔共几只脚？生：30只脚。师：看来这个问题对大家来说没有难度，
6、换个难点的试试？请看（PPT出示8只头和26只脚）师：如果老师用一个表示一只头，一根丨表示一只脚。跟我一起数。师：鸡和兔共有8只头，有26只脚，请问鸡兔各有多少只？师：这个问题与刚开始的2个问题一样吗？有区别吗？是什么？生：前面2个是知道鸡和兔分别是多少，求脚的总数。而这个问题是知道脚数和总头数，要求分别对应的只数。师：如果把前面2个问题看成顺向思维的话，现在的问题就是前面问题的逆过程。师：看来这个问题只靠想一想有点难。今天这节课我们一起来解决它好吗？出示问题。【设计意图】通过前面2个问题的铺垫，让学生参与到问题的建构中，成为学习的主人。建构这个问题与前面问题的联系。帮助学生更好的理解鸡兔同笼
7、问题。二、 分析问题、交流探讨（10-15分钟）师：你能解决这个问题吗？你准备用什么方法解决？现在请以小组为单位解决一下。三、分享展示、探索规律（15-20分钟）师：好了，同学们，让我们一起来看一下这几位同学的做法。请大家认真倾听并思考，对于这些同学的想法，你有什么疑问，可以举手直接问他们，听明白了吗？预设1：（如果学生探究出来方法） （1）列举 生2演示：我是通过列表，先假设鸡有7只，兔有1只，算得脚总数是18只，不够26只，我又假设鸡有6只，兔有2只，算得脚总数是20只，不够，再调整，以此类推，直到鸡有3只，兔有5只，算得脚总数是26只，得到答案。 师：把掌声送给这位同学。大家听明白了吗？
8、有没有疑问需要问这位同学的？ 师：你发现这个总脚数有规律吗？生：每次都增加2只。师：我有问题要问：为什么当脚数不够时，你要增加兔子的只数，减少鸡的只数？ 生：一只兔子4只脚，一只鸡2只脚，因为脚数不够，所以要增加兔子的只数。 生3演示：我先假设鸡有1只，兔有7只，算得脚总数是30只，比26只脚多了；我又假设鸡有2只，兔有6只，算得脚总数是28只；比26只脚还多2条；我又假设鸡有3只，兔有5只，算得脚总数是26只，得到答案。 师：掌声送给他，有问题要问这位同学吗？ 师：大家没有问题，我又有疑问：为什么你是减少兔子的只数，增加鸡的只数？生：因为我假设鸡有1只，兔有7只，算得脚总数超过了26条，因此
9、我要让脚数少一点，换句话就是增加鸡的只数，减少兔的只数。 （2）假设法生演示：我先假设8只全是鸡 82=16（只） 26-16=10（只） 兔子 102=5（只） 鸡 8-5=3（只）师：先把掌声送给他，刚才这位同学的汇报，你们看明白了吗？算式每一步表示什么意思？你还有什么疑惑吗？生：为什么用102就可以求出兔的只数？师：谁起来说说102=5中，10表示什么？2表示什么？5又是什么呢？生：10表示假设和实际之间相差的腿数，2表示1只兔和1只鸡之间相差的腿数，5表示10里面有5个2，所以兔就有5只。生演示：我先假设8只全是兔 84=32（只） 32-26=6（只） 鸡 62=3（只） 兔子 8-
10、3=5（只）（2）方程法解:设兔有X只，鸡有（8-X）只。 4X+2（8-X）=26 4X+16-2X=26 16+2X=26 2X=26-16 X=5今有雉兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问雉兔各几何？ 师：同学们，比较这几位同学的做法，你觉得他们这些方法之间有没有什么联系呢？ （没有回答的就同桌之间交流一下想法）生：它们都是假设，然后再调整，最后找到答案。师：列表、画图、算式表现的形式不同，但他们都用到了假设的思想！不管用哪种方法，都是从最开始的假设后，发现总腿数与实际总腿数之间的差距，进行适当的调整，在这个调整中，始终不变的是？（总头数）从而找到正确的答案。 预设2：(如果学生
11、探索不出规律来，没有思路) 师：可能有些同学思路还不是很清晰，是吗？这样我们一起来理顺一下。老师采用的是列举的方式来解决这个问题，我先假设8只全是鸡，算出脚总数是82=16（只），不够26只脚，需要增加兔的只数，此时鸡7只，兔子1只，算出脚总数是72+14=18（只），怎么办？继续增加兔子的只数，减少鸡的只数，此时鸡6只，兔子2只，算出脚总数是20只；需要继续调整，不断增加兔子的只数，减少鸡的只数，但是我们总的只数是一直不变的。我们一直调整下去，当调整到鸡有3只，兔子有5只时，此时脚总数是26只，从而找到答案。鸡有3只，兔子有5只。 师：大家想一想：这种一一列举的策略好处是什么？有什么缺陷吗？
12、 师：是的，当遇到数据很大时，这种列举的方法，会很麻烦。如果能用算式的方法解决，就不用担心数据很大了，是不是？那怎么列算式呢？我们来看看刚才的列举会不会给我们一些提示。 师：请大家再来看我们刚才的列举这些可能，脚总数的变化有什么特点吗？脚的总数都依此增加2只是吗？那鸡和兔的只数又发生了什么变化？总只数呢？师：咱以第一行和第二行为例，脚总数由16只到18只，此时我们看看兔子的只数由0只到1只，鸡的只数由8只到7只。我们再来看第二行和第三行，脚总数由18只到20只，此时我们看看兔子的只数由1只到2只，鸡的只数由7只到6只。同学们发现什么规律了？生：每增加一只兔子减少一只鸡，脚总数就多2只。 师：是
13、这样吗？我们把我们得到的规律写下来。师：我们来看是这样吗？可以借助于画图的方法。如果画一个代表一只头，画两个丨丨代表腿，那你能把刚才这个规律通过画图的形式给你的同桌介绍一下吗？试一试。师：每增加一只兔子减少一只鸡，脚的总数多了2只，这个2是怎么得到的？是不是用4-2得来的？其中4是兔子的脚的只数，2是鸡的脚的只数，得到的2是兔子与鸡的脚的差。这个过程什么没有变？总的头数。 师：回到我们最初的假设，假设全是鸡。此时，脚总数共16只，距离26只脚还差10只脚。需要怎么调整？ 生：增加5只兔子，减少5只鸡。 师：现在就让我们试着把刚才的思考过程用算式的形式表达出来。 师（板书）：假设全是鸡 82=1
14、6（只） 26-16=10（只） 102=5（只）兔子增加 8-5=3（只）鸡师：同学们，理解这个地方为什么是102=5吗？这个5为什么是兔子的只数呢？生：因为每增加一只兔子减少一只鸡，脚的总数就多2，因此少的10只脚需要用换5次，所以102=5表示换成了5只兔子。师：谁再起来说一说？ 师：通过刚才我们的交流，任何一种假设，都可以在此基础上利用我们发现的规律通过算式算出答案。在这些方法中，有没有理解容易、算式简单的最佳方法？生：假设全是鸡 师：还有吗？ 生：假设全是兔。师：让我们看一下“假设全是兔”的算式。师：遇到鸡兔同笼问题，最好的解决方法是“假设全是鸡”或者“假设全是兔”。【设计意图】通过教师总结，引导学生通过假设列举的方式得到答案，进而发现规律，启发学生运用规律将我们的思考的过程用数学语言算式来表达，即建立数学模型。然后通过比较，让学生进行算法优化，得到解决此类问题的最佳方法。四、运用模型，解决问题，优化算法（10分钟） 师： 鸡兔同笼问题真的只是鸡和兔子的问题吗？那为什么老祖宗煞费苦心的要把它流传下来，它有什么魅力？ 师：现实生活中有这种鸡兔同笼的模型吗？（如果有举手的让学生说，没有的话就一起来看看）。如龟鹤问题、人民币问题、租船问题，等等这些都是鸡兔同笼的模型。【设计意图】让学生运用掌握的“鸡兔同笼”模型解决现实世界中的问题
