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1、以“分数除法”为例，谈学生运算能力的培养 点评专家：武汉市教育科学研究院 马青山我国数学课程一直将数的运算作为小学数学的主要内容，义务教育数学课程标准（2011年版）提出应当注重发展学生的“运算能力”，说明运算能力是义务教育阶段数学课程背景下重要的数学核心素养，是数学课程目标实现的重要保证。基于此，教师和学生都非常重视运算能力的培养和提高。但实践中，教师与学生理解及达成的情况却不尽如人意。针对以上教与学的问题，王钊老师带领江岸区的数学教师开展计算教学专题研究，经过几年的实践，积累了一定的教学经验。我认为她执教的分数除法这节课在以下方面注重了学生运算能力的培养：一、以知识包为载体，注重知识的迁移
2、类推，凸显运算意义。数学是一门系统性、逻辑性很强的学科，各部分知识组成了一个纵横交错、紧密联系的网。美国独立学者马立平博士的小学数学的掌握和教学中这样描述：“在数学教学中，教师的知识包揭示了教师对开启和培养学生头脑中这样一个领域的纵向过程的理解。”吴正宪老师认为：“如果想让知识树枝繁叶茂，必须根深蒂固。”人民教育出版社小数室王永春主任在小学数学计算教学改革的有效探索一文中指出：“每一个新知识都是在已有知识的基础上发展的，要善于运用类比推理和比较差异的思想方法进行新旧知识的转化，达到触类旁通、方法迁移的目的。”因此，建立在对知识及知识间的关系深刻理解的基础上的数学知识结构和认知结构才是稳固丰富的
3、。有思想深度的课，能使学生数学地思考问题的方法长存，有助于学生的可持续发展，真正提高学生的数学素质。学生在计算中的困难和错误往往与其对数和运算的意义理解不深是有关系的，而他们对运算意义及方法的理解不是一蹴而就的。“分数除法”是小学阶段四则运算学习的最后一个单元，它的学习方法、思路很大程度上和“分数乘法”、“整数除法”、“小数除法”等是一致的。因此，王老师用“数的运算知识树”、“整数除法的意义、计算方法及学习方法”、“小数除法的意义、计算方法及学习方法”等知识包，唤起学生对已有知识的回忆，从而运用同样的思路和方法开展“分数除法”的学习。同时，引导学生回忆第一单元“分数乘法”的学习方法，例如举例子
4、、利用长方形折涂等方法来学习“分数除法”，让学生在学习活动中，体会到数学知识不是孤立的，数学的学习是螺旋上升的。这样的教学，不是就计算讲计算，而是将计算学习的横纵联系、思维脉络清晰地展现。 二、数形结合，架设算理直观和算法抽象的桥梁，理解计算方法。张景中院士认为：“计算和推理是相通的，计算要有方法，这方法里就体现了推理，即寓理于算的思想；计算是具体的推理，推理是抽象的计算。”计算的具体推理，显然就是算理的理解了。这也是计算教学中教师感到棘手的问题，不知如何把握算理理解的方式和时机，想面面俱到却经常顾此失彼。针对这些问题，王老师在本节课中进行了尝试，力求基于学生的需求解决问题，具体表现在：1.
5、从体会“分数除法”的意义开始理解算理弗赖登塔尔在作为教育任务的数学一书中指出，数学知识有两类：程序性知识和思辨性知识。程序性知识大多是“行易知难”，例如计算规则，本节课“分数除以整数”的计算，就是做起来容易，懂得其道理难。对于“分数除以整数”的算理：把一个数平均分成几份，实际上就是求这个数的几分之一是多少，并不是通过像 2、 3这样的一、两个例子，借助直观图就能让学生接受的。2. 采用多种方式理解算理。在初步理解算理之后，应该给予学生“再次理解”的机会。因此，王老师采取了以下两种方式：（1）举例说明举例是学生已有的学习经验，在“分数乘法”的学习中就用到。她改编了例1的教学，让学生根据“分数的意
6、义”和“整数除法的意义”分别在长方形上表示出“几分之几除以几”，再根据图示来列出算式。这样，比起教材中的 2、 3这两个例子，学生举的例子会更多，各种情况都有可能涵盖。接下来，学生依据图示来说明他表示的算式的合理性，既有同桌交流，又有全班反馈，对于算理的理解就蕴涵其中了。（2） 直观模型直观模型是指具有一定结构的操作材料和直观材料。这节课，她按照教材例1的编排也选择了长方形作为直观模型。这样，先将“几分之几”赋予图示，再将“除以几”用图表示，接下来用算式来描述折、涂的过程，在操作活动中充分发挥数与形、形与式的结合，让学生在后面的尝试计算中有图可依，在直观模型的充分体验中完成“动作思维形象思维抽
7、象思维”的发展过程，进一步理解算理。（3） 已有知识在理解“分数除以整数”的计算原理时，要以学生的已有知识经验，即分数的意义、除法的运算意义、除法是乘法的逆运算、分数乘法的计算方法及倒数的意义为基础，让学生理解“为什么要把除法转化为乘法来计算？”，“怎样把除法转化为乘法来计算？”，从而将所学知识融会贯通。同时，这节课的算理也将为后面进一步学习“分数除以分数”奠定基础。 三、对比优化，体会除法转化为乘法的价值，内化计算法则。 针对问题三出现的有的教师重视让学生去探索如何计算，并在此基础上帮助学生理解算理，但是往往忽视了另一个重要的过程计算法则（或个体使用方法）的内化与形成的教学现象，我认为，当学
8、生经历了算法多样化，对比优化，并且对于运算的道理有所理解后，还需要学生对常规的计算法则进行再熟悉，以达到内化。 算法的优化应建立在算法多样化的基础上，如果不及时沟通几种算法之间的联系，草率地牵引到通法上来，是不符合学生认知规律的。因此，在教学时，她先让学生充分阐述各种方法的道理，找到它们之间的联系；然后通过举例，比较每种算法的优势和局限性；最后，学生运用第三种方法再次计算自己的算式，发现将分数除以整数，转化为去乘除数的倒数这个计算方法适用于所有情况，它是计算的一般方法，由此达到内化。同时，在对比优化的过程中，学生体会到“转化”产生的价值，即为什么要把除法转化为乘法？定义倒数的意义究竟是什么？定
9、义倒数实际上是定义了两个数之间的关系，利用这个关系可以方便地把除法转化为乘法计算，而转化的目的就是为了提高运算效率。除法转化为乘法计算，之所以效率会提高，主要有两个原因：一是分数乘法的计算法则比较简单，二是转化之后乘法的运算律可以派上用场。因此，在巩固提高环节，设计这样的练习让学生进一步体会转化的价值。 一些数学家在谈到“什么将他们引向数学时”，不约而同地提到了“数学深处出人意料的联系”。兼获菲尔兹奖、沃尔夫数学奖、阿贝尔奖的著名数学家皮埃尔德利涅说：“在数学中，当你发现两个看似没有共同之处的东西事实上互相关联是一种乐趣，而在两个问题之间建立一个支点则是一个强大的工具。”美国数学家阿德比西阿布拉指出：“对我来说，数学中最美妙的事情就是，一些乍看来毫不相干的观念和想法事实上可以证明是紧密相关的，有时甚至以一种非常深刻和神奇的方式相关。”数学家在研究数学的过程中，享受着在数学深处发现联系的乐趣。在王老师的教学中，她用整体、联系的眼光看待数学的各个分支，让学生在迁移、理解、内化中提高运算能力。
