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1、第十一章 欧几里得空间 初等几何中有“长度”和“内积”的概念，它们在通常的二维、三维几何空间研究中起着重要的作用然而两个函数哪一个离已知函数更“近”？这同样需要有“尺度”，因此我们来推广“长度”，“内积”，得到一种“尺度”平面几何中直角坐标系对讨论度量性质很方便，我们把它推广为标准正交基最后我们来推广正交变换，证明实对称矩阵必定可对角化1 基本概念1.1 欧几里得空间定义11.1.1 设S是一个集合，F是数域g是一个法则，它使得S中的每一有序元素对，都有唯一的F中的数与之对应，这个数记为 g (，)， 简记为(，)，称g为一个S的（值在F中的）二元函数F = R时，称g为实二元函数，F = C
2、时，称g为复二元函数例11.1.1 设，Rn ，= ，= 记(，) = a1 b1 + a2 b2 + + an bn = T，这是一个R n 的实二元函数 在中，将R换成C，而记(，) = a11 + a22 + + ann ，其中表示b的共轭复数，这是一个Cn的复二元函数例中，当n = 3时，就是三维空间中的内积这个内积还满足对称性，对第一个变量是线性的，且当o时，(，) 0我们把这些作为基本要求，引进下述概念：定义11.1.2 设V是实数域R上的线性空间定义了一个V的二元实函数，对，V，有序对，对应的函数值记为 (，) ，称为与的内积它满足对任意，V，kR ，都有 （对称性） (，) =
3、 (，) ， （对第一个变量的线性1） (+，) = (，) + (，) ， （对第一个变量的线性2） ( k，) = k (，)， （正定性） 对任意 oV，都有 (，) 大于0；则称V关于内积( ，)是一个欧几里得空间，简称欧氏空间容易证明，设W是关于内积( ，)的欧几里得空间V的子空间，则W关于内积( ，)也是一个欧几里得空间 例11.1.2 Rn 关于例11.1.1 所定义的内积是一个欧几里得空间 例11.1.3 设a，b R，并且ba，记V = C0 a，b 是a，b 上连续实函数的全体关于函数的加法与数量乘积所成的实线性空间设f (x)，g (x)V，定义( f (x)，g (x)
4、 = f (x) g (x) dx容易验证，V关于此内积是一个欧几里得空间以后，除非另加声明，这两个空间以及它们的子空间的内积总是默认这样定义的定理11.1.1（简单性质） 设V是欧几里得空间，设，V，有 (，+) = (，) + (，)， (，k) = k (，)， (，o) = 0 = (o，)， 设j，iV，kj，l iR，i = 1，2，t，j = 1，2，s；记 b i j = (j，i ) ，B = (bi j) ts；K =，L = ；则 ( k 11 + k 22 + + k ss，l 11 + l 22 + + l tt )=l i k j (j，i ) = L T B K
5、（11.1）这些都可以用公理进行验证，验证留给读者由于(，)是非负实数，于是可定义定义11.1.4 称 (，) 的算术平方根为的长度，记为 |（有的书中，也记为 | ）1.2 度量矩阵设V是一个欧几里得空间，dim V = n，设 ()：1，2，n 是V的一个基记b i j = ( j，i ) ，B = (bi j) nn设，V，在 () 下的坐标分别是K，L由定理11.1.1的，有(，) = L T BK定义11.1.5 上述矩阵B称为V的内积 ( ，) 在基 () 下的度量矩阵容易验证定理11.1.2 设V是一个欧几里得空间，dim V = n，则V的内积在任意基()下的度量矩阵B是正定的
6、例11.1.2中的内积在n维单位向量组成的基1 ，2，n下的度量矩阵是E n当n = 2时，由例11.1.1所定义的内积很好地反映了平面的情况如果考虑曲面，在曲面 r = r ( u，v ) 上，弧长的平方表示成“第一齐式”：E ( d u ) 2 + 2 F d u d v + G ( d v ) 2 ，其中E = ，F = ， G = 要由定义11.1.4给出的长度，内积在由“d u，d v”构成的坐标系（即基）下的度量矩阵，应是，而不是E 2例11.1.4 设BMatnn (R)如果B是正定的，对任意，Rn ，定义 (，) B = T B，则关于内积 ( ，) B ，Rn 是一个欧几里得
7、空间证明： 设，R n ，kR ，(，) B = T B = (T B) T=T B T = T B = (，) B，公理成立(+，)B = T B (+) =T B+T B= (，) B + (，) B ，公理成立(，k) B =T B (k) = k (TB) = k (，) B ，公理成立 设o，因为B是正定的，(，) B = T B0，公理成立因此R n关于此内积是一个欧几里得空间 可见对一个线性空间，我们可以定义不同的内积，使得它成为不同的欧几里得空间，所以提到欧几里得空间，必须说出具体的内积，（除默认的内积，如例11.1.1，例11.1.3） 1.3 Schwarz不等式 在R 3
8、中，我们有不等式 (，) 2 (，) (，)，在欧几里得空间中也有这个结论 定理11.1.3 设V是一个欧几里得空间，设，V，则 | (，) | （11.2）等号成立的充分必要条件是，线性相关证明： 如果，之中有一个是零，则（11.2）的等号成立现在假定o令t = ，则t R ，并且 (+ t，+ t) 0 （11.3）于是 0 (，) t 2 2 (，) t + (，) = (，)2+ (，) ， （11.4）两边乘以(，)，即得结论而（11.2）等号成立 （11.4）等号成立 （11.3）等号成立 = t（11.2）式被称为柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式，在以前的一部分
9、教科书中也称之为柯西-布尼亚柯夫斯基不等式例11.1.2中，（11.2）的平方的具体形式是柯西不等式：对任意实数，都有 ( x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n ) 2 ( x 1 2 + x 2 2 + + x n 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 + + y n 2 )其中等式成立当仅当 ( x 1 ，x 2 ， ，x n )与 ( y 1 ，y 2 ，y n )成比例例11.1.3中，（11.2）的平方的具体形式是： ( f (x) g (x) dx ) 2 (f 2 (x) dx ) (g 2 (x) dx )定义11.1.6 设V是一个欧几里得空间，V，并
10、且o，o，则存在o，使得 cos = ， （11.5）称为与的夹角，记为 由（11.2）可得出（11.5）式右边的绝对值不大于1，故定义11.1.6有意义它是R 3中的夹角的推广 习题11.11. 设V是一个欧几里得空间，1，2，n 是V的一个基证明：如果V， (j，) = 0，j = 1，2，n，则= o2. 在R2 中，规定内积(，)B = TB，其中B = ，则R2 关于此内积是一个欧几里得空间设= ，= 求 (，) B ，| 以及 写出(，) B的Schwarz不等式的具体形式3. 证明：2(，) = |+| 2 | 2 | 2（这说明，如果两个内积所定义的长度相同，则这两个内积相等）
11、4. 证明： (1)（极化公式） 4 (，) = |+| 2 | 2 (2)（平行四边形公式） |+| 2 + | 2 = 2 | 2 + 2 | 2 5. 5. 设 AMatnn(R)证明： 齐次线性方程组A T A X = o与 A X = o同解 rank (A T A) = rank A6*. 设V是实线性空间，V，是一个V到R的一个映射. 记() = |，如果满足：对任意，V，kR，都有 | k | = | k | | ( | k | 表示 k的绝对值)； （三角不等式） |+| | + |； 对任意o都有| 0，并且 | o | = 0；则称这个函数为范数，称V关于此范数为一个赋范
12、空间 证明：如果V是一个欧几里得空间，则V是由它的内积 ( ，) 所定义的长度为范数的赋范空间 7*. 设V是实线性空间设d是V的实二元函数，满足对任意，V，都有 d (，) = d (，)； d (，)0，其中等号当仅当=时成立； （三角不等式）d (，) d (，) + d (，)； 则称V关于d是一个距离空间，d叫做距离 设V是关于内积 ( ，)的一个欧几里得空间，又设，V，取 (，)的算术平方根为d (，) 证明：V是关于d的一个距离空间8. 设V是一个欧几里得空间，()：1，2，n ，()：1，2，n 是V的两个基设在基()、() 下的度量矩阵分别是B、H，由基 ()到基 () 的过渡矩阵是C证明：H = C T BC 提示：利用分块矩阵设C的第j列为C j，则 C T BC 的第i 行的第j列是C i T BC j ，而C j是j在基()下的坐标9. 设V是n维欧几里得空间证明：存在V的一个基 ()，使得在 () 下的度量矩阵是En ( 提示：任意取V的一个基 ()：1，2
