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1、等效电源在电路中的应用北仑中学 贺贤伟摘 要: 任一线性含源二端网络均可替换为一电动势为0，内阻为r0的等效电源,其中0等于被替换网络开路时两输出端的路端电压U0,而r0等于被替换网络两输出端之间的等效电阻。本文通过几个实例介绍了这一思想及其在解决某些具体电路问题上的应用。关键词:等效电源 电路等效变换是通过对问题中的某些因素进行变换或直接利用相似性,把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理规律、物理过程来研究和处理的一种重要的科学的思维方法。这是物理研究的重要方法，也是解决物理问题的常用方法之一。在电学问题中,我们可以通过对电源的等效变换实现化繁为简,收到事半功倍的效果。一、基本思想我们先
2、来看这样一个电学问题: 例1:如图1，=6v,r=R1=1,R2=2,R3=5,求通过R3的电流。这个问题按照我们一般的解法如下:解:R2和R3并联后的阻值为=电路中的总电流=A所以流过R3的电流为现在我们换个思路来看,设想我们将图1电路的虚线部分装入一个不透明的黑箱,只留出接线柱A和B,那么对电阻R3来说,这个黑箱对它而言,只是一个电源而已,至于内部的结构怎样,对R3是没有什么意义的,所以我们可将图1等效替换为图2,其中图2中的电源0就是图1中的虚线部分电路的一个等效。那么这个新的等效电源的等效电动势0和等效内阻r0该如何计算呢。我们知道电源的电动势在数值上等于外电路断开时候的路端电压,利用
3、这个性质,我们将R3断开,如图3所示,可以看到等效电动势等效内阻故流过R3的电流从这个结果可以看到,结论是一致的。综上所述,可以提出这样一个设想:任一线性含源二端网络(如图4),均可替换为一电动势为0，内阻为r0的等效电源(如图5),其中0等于被替换网络开路时两输出端的路端电压U0,而r0等于被替换网络两输出端之间的等效电阻。二、具体应用例2 在图6所示的电路中,电源的电动势为=6v,内阻为r=2,R1=10,R3=12,R4=2,R2为最大阻值为20的滑动变阻器,求: (1) R2为何值时, R2和R4上消耗的总功率最大?值为多少?(2) R2为何值时,R2上消耗的电功率最大?值为多少? 解
4、:(1)将图6中虚线内部分等效成一电源,设该等效电源的电动势为0,内阻为r0,有现在我们再将图6转化为图7,由于电源内外电阻相等时输出功率最大,将R2和R4看作一个电阻,则当R2+R4=r0时, R2和R4上的总功率最大,故R2=4。此时,R2和R4上消耗的总功率为(2)将图7中的等效电源0和电阻R4进一步等效成另一个电源,可知此电源的电动势为=0=3V,内阻为r=r0+R4=8所以当R2=r=r0+R4=8时, R2上消耗功率最大. 此时,R2上消耗的总功率为 在这个问题中,我们如果不用电源等效的思想来解决,那么就要列出方程,然后通过数学上求极值的方法来解决,运算量和思维量都将大大增加。 例
5、3、(2001年上海高考)要求测量由2节干电池串联而成的电池组的电动势E和内阻r(约几欧),提供下列器材: 电压表V1(量程3V,内阻1K)、电压表V2(量程15V,内阻2K)、电阻箱(0-9999欧)、电键、导线若干。 某同学用量程为15V的电压表连接成如图8所示的电路,实验步骤如下: (1) 合上电键S,将电阻箱R阻值调到R1=10,读出电压表读数为U1(2) 将电阻箱R阻值调到R2=20,读出电压表读数为U2,由方程组、解出E和r 。为了减小实验误差,上述实验在选择器材和实验步骤中应做哪些改进?解:电源为2节干电池,所以电压表应该选择3V的量程就足够了。为了减小误差,可改变电阻箱的阻值R
6、,读取若干个U的值,然后由,计算出对应的流过R的电流的值,然后作出U-I图像,得到E、r。对该实验的误差问题作进一步的讨论,从图8中可以看到,由于电压表的分流作用,我们这里计算出来的通过电阻R的电流I并非总电流,而是少了流过伏特表的电流IV,而要用作U-I图像的方法来测电源电动势和内阻,所用的数据U应该为电源路端电压,I为该电路的总电流,所以利用电路图8所测数据作出的U-I图像得到的电源电动势E和内阻r显然是有系统误差的。现在我们来分析这个系统误差的大小,将伏特表等效成一个阻值无穷大的理想伏特表V和一个电阻RV(原伏特表的内阻)的并联,如图9所示,然后将图9电路虚线框中电池组E和电阻RV等效成
7、一个电源E0,此等效电源的,内阻,而在图9中,由于电压表V是理想的,显然流过电压表V的电流就无穷小,因此流过R的电流就是总电流,电压表V测量的就是路端电压,利用这组数据作U-I图像所得的测量值就没有系统误差,应该恰好为等效电源的电动势E0和内阻r0, 由上面的等式和可以看到等效电源的电动势E0和内阻r0比原电源的电动势E和内阻r的真实值要小,因此用图8所得的E和r的测量值也就均比真实值要小,且RV越大,误差越小,由此可知,在实验器材的选取中,量程相同的电压表,应该选择内阻较大的。在测定电源电动势的实验中,如果设计如图10所示的电路,其中伏特表内阻为RV,电流表内阻为RA。可以看到由于电流表内阻
8、RA的分压作用,在该电路中伏特表的测量值并非是真正的路端电压。我们将电流表等效成一个内阻为零的理想电流表A和一个电阻RA的串联,如图11所示。然后我们将图11虚线框内的电路等效成一个电源E0,可知利用U-I图像所求得的测量值正是这个等效电源E0的电动势和内阻,其中E0=E,r0=RA+r,从这里我们可看到,这个测量电路所测出的电源电动势并无系统误差,但是电源内阻却比真实值偏大,只有当RAr时,这个设计才可行,事实上一般说来电源内阻大多是比较小的,所以这个电路图用来测量电源电动势和内阻一般是不可行的. 将图8电路测得的U-I图像用线a表示,图10电路测得的U-I图像用线b表示,真实的U-I图像用
9、线c表示,如果在同一个U-I图像中表示出来的话,我们可以得到如图12所示的图像。图13例4、如图13，在A和B之间先接上一只理想电压表，后改为一只理想电流表，它们的读数分别为U0和I0，若在AB之间接上电阻为R的电阻器，则通过R的电流多大？解：将AB看作电源的两极，电路的其它部分等效成一个电源E，当接理想电压表时，表的读数U0就等于E；当接理想电流表时，等效电源的内阻rU0/I0,则当AB间接电阻R时，流过R的电流等效法通过巧妙的等效替代，使得问题化繁为简、化难为易，并最终得以解决。因此，教师要注意教导学生对这种方法的理解和掌握，使学生能灵活运用知识，同时促进知识、技能和各种能力的迁移，从而提高学生解决问题的能力。参考文献：物理教学概论 银河出版社 主编：蔡培阳 2001年版中学特级教师教学思想与方法东南大学出版社 主编：王辉 2000年版1
