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1、精品课程土质学与土力学 第五章第五章 土体中的应力计算本章学习要点：本章内容是地基基础设计和施工的基础知识，也是下章讨论地基变形的前提，因此应很好地掌握。地基中的应力包括自重应力和附加应力，前者是土受的重力作用而产生的，后者是由于基础等外部荷载所引起的由于产生条件不同，因此两者的分布规律和计算方法也不同。要学会自重应力的计算方法和分布规律，及常用的典型规则的均布荷载下地基附加应力的计算方法，并掌握基础底面应力计算和分布特点。要求明确有效应力的概念，这对全书的理解大有好处。第一节 概述大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基。由天然土层直接支承建筑物的称天然地基，软弱土层
2、经加固后支承建筑物的称人工地基，而与地基相接触的建筑物底部称为基础。地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。如果地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之，土体就要发生破坏，并能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。地基中的应力，按照其因可以分为自重应力和附加应力两种：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。附加应力：由于外荷（静的或动的）在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地基失去稳定和产
3、生变形的主要原因。附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况。一、应力应变关系的假定真实土的应力应变关系是非常复杂的，目前在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。1、关于连续介质问题弹性理论要求：受力体是连续介质。而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。2、关于线弹性体问题理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是
4、呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完全恢复。为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，但对沉降有特殊要求的建筑物，这种假设误差过大。3、关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体。而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。为此进行假设，天然地基作为均质的各向同性体。二、地基中的几种应力状态计算地基应力时，一般将地基当作半无限空间弹性体来考虑；即把地基看作是一个具有水平界面、深度和广度都无限大的空间弹性体。（见教材P66图32）常见的地基中的应力状态有如下三种：1、三维应力状态荷载作用下，地基中的应力状态均属三维应力状态。每一点的应力都是x、y
5、、z的函数，每一点的应力状态都有9个应力分量。，写成矩阵形式则为：根据剪应力互等原理，有xy=yx,yz=zy,xz=zx，因此，该单元体只有6个应力分量，即xx,yy,zz, xy, xz, yz。2、二维应变状态（平面应变状态）二维应变状态是指地基中的每一点应力分量只是两个坐标（x,z）的函数，因为天然地面可看作一个平面，并且沿y方向的应变，由于对称性，这时，每一点的应力状态有5个应力分量： 。应力矩阵可表示为：3、侧限应力状态侧限应力状态是指侧向应变为零的一种应力状态；土体只发生竖直向的变形。由于任何竖直面都是对称面，故在任何竖直面和水平面上都不会有剪应力存在，（P67图35），即，应力
6、矩阵为：由，并与成正比。三、土力学中应力符号的规定在进行土中应力计算时：应力符号的规定法则与弹性力学相同，但正负与弹性力学相反；即当某一截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面称正面；正面上的应力分量以沿坐标轴正方向为负，沿负方向为正。用摩尔圆进行应力状态分析时，法向应力仍以压应力为正，剪应力方向以逆时针方向为正。（P67图36）第二节 地基中的自重应力计算在计算地基中的自重应力时，一般将地基作为半无限弹性体来考虑。由半无限弹性体的边界条件可知，其内部任一与地面平行的平面或垂直的平面上，仅作用着竖向应力和水平向应力，而剪应力。1、竖直自重应力设地基中某单元体离地面的距离z，土的容重为，则单
7、元体上竖直向自重应力等于单位面积上的土柱有效重量，即 (3-1) kpa或 kN/m2可见，土的竖向自重应力随着深度直线增大，呈三角形分布。注：（1）若计算点在地下水位以下，由于水对土体有浮力作用，则水下部分土柱的有效重量应采用土的浮容重或饱和容重计算；a：当位于地下水位以下的土为砂土时，土中水为自由水，计算时用。b：当位于地下水位以下的土为坚硬粘土时，在饱和坚硬粘土中只含有结合水，计算自重应力时应采用饱和容重。c：水下粘土，当IL1时，用。d：如果是介乎砂土和坚硬粘土之间的土，则要按具体情况分析选用适当的容重。例如下图中的B点，其竖向自重应力为（2）若地基是由多层土组成，如图37（a）（见教
8、材P68），设各土层的厚度为H1、H2、Hn，相应的容重分别为，则地基中的第n层底面处的竖向自重应力为： （32）2、水平向自重应力在半无限体内，由侧限条件可知，土不可能发生侧向变形（），因此，该单元体上两个水平向应力相等并按下式计算： （33）式中K0土的侧压力系，它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直有效应力之比，可由试验测定，是土的泊松比。第三节 地基中的附加应力在求解地基中的附加应力时，一般假定地基土是连续、均匀、各向同性的弹性体，然后根据弹性理论的基本公式进行计算。另外，按照问题的性质，将应力划分为空间（三维）问题和平面问题两大类型。矩形、圆形等基础（L/B10）下的附加应力计算即属
9、空间问题（其应力是x,y,z的函数）；条形基础（L/B10）下的附加应力计算即属于平面问题（其应力是x,z的函数），坝、挡土墙等大多属于条形基础。一、空间问题条件下的附加应力（一）竖直集中力作用下的附加应力如图P71图310所示，当半极限弹性体表面上作用着竖直集中力p时，弹性体内部任意点M的六个应力分量，由弹性理论求出的表达式为：（36） 式中：x,y,z方向的法向应力剪应力土的泊松比RM点至坐标原点o的距离直角三角形OMM中与的夹角上式为著名的布幸内斯克（Boussinesq）解答，它是求解地基中附加应力的基本公式。对于土力学来说，具有特别重要的意义，它是使地基土产生压缩变形的原因。由公式可
10、知，垂直应力只与荷载P和点的位置有关，而与地基土变形性质无关（，E）。由几何关系：；（36a）可以写为： （37）式中： 竖直集中力作用下的竖向应力分布函数，它是的函数；可由P72图311和表31中查得。从式37可知（1）在集中力作用线上（即），附加应力随着深度z的增加而递减（见教材P73图3-12）；（2）当离集中力作用线某一距离r时，（由36a可知）在地表处的附加应力0，随着深度的增加，逐渐递增，但到一定深度后，又随着深度z的增加而减小（见教材P73图3-12）。（3）当z一定时，即在同一水平面上，附加应力随着r的增大而减小（见教材P73图3-12）。注：如果的地面上有几个集中力作用时（见
11、教材P73图3-14），则地基中任意点M处的附加应力可以利用式（37）分别求出各集中力对该点所引起的附加应力，然后进行叠加，即：式中：分别为集中力作用下的竖向应力分布函数。（二）矩形基底受竖直均布荷载作用时角点下的竖向附加应力矩形基础当底面受到竖直均布荷载（此处指均布压力）作用时，基础角点下任意点深度处的竖向附加应力，可以利用基本公式（37）沿着整个矩形面积进行积分求得。P74如图316，若设基础面上作用着强度为p的竖直均布荷载，则微小面积dxdy上的作用力dppdxdy可作为集中力来看待，于是，由该集中力在基础角点o以下深度为z处的M点所引起的竖向附加应力为： （38）将代入上式并沿整个基底
12、面积积分，即可得到矩形基底竖直均布荷载对角点o以下深度为z处所引起的附加应力为：=KsP （39）式中：矩形基础，底面受竖直均布荷载作用时，角点以下的竖直附加应力分布系数，可以从P75表32中查得L：为基础底面的长边，B：为基础底面的短边，且LB。注：对于在基底范围以内或以外任意点下的竖向附加应力，可利用式（39）并按叠加原理进行计算，这种方法称之为“角点法”。对矩形基底竖直均布荷载，在应用“角点法”时。L始终是基底长边的长度，B为短边的长度。例题：（三）矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时角点以下的竖向附加应力矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时，把荷载强度为零的角点o作为坐标原点，同样可利用公
13、式沿着整个面积积分来求得。如图320所示（教材P79）。若矩形基底上三角形荷载的最大强度为，则微分面积dxdy上的作用力可作为集中力看待，于是角点o以下任意深度z处，由于该集中力所引起的竖向附加应力为：将代入上式并沿整个底面积积分，即可得到矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时角点下的附加应力为： （310）式中为矩形基底受竖直三角形分布荷载作用时的竖向附加应力分布系数，可查表33（教材P78），。B：沿荷载变化方向矩形基底的长度，L：矩形基底另一边的长度；L，B无长短之分。对于基底范围内（或外）任意点下的竖向附加应力，仍然可以利用“角点法”和叠加原理进行计算。但任意两点：（1）计算点应落在三角形
14、分布荷载强度为零的一点垂线上。 （2）B点始终指沿荷载变化方向矩形基底的长度。（四）矩形基底受水平均布荷载作用时角点下的竖向附加应力如图321所示（教材P79），当矩形基底受到水平均布荷载作用时，角点下任意深度z处的竖直附加应力可以利用公式求得： （311）式中：矩形基底受水平均布荷载作用时的竖向附加应力分布系数，可查表34（教材P80），。B：平行于水平荷载作用方向的矩形基底的长度，L：矩形基底另一边的长度。“”：当计算点在水平均布荷载作用方向的终止端以下时；（b,d点下）“”：当计算点在水平均布荷载作用方向的起始端以下时；（c,d点下）当计算点在基底范围内（或外）任一位置，同一可以利用“角点法”和叠加原理来进行计算。二、平面问题条件下的附加应力理论上，当基础长度L与宽度B之比，L/B时，地基内部的应力状态属于平面问题。实际工程实践中，当L/B10时，平面问题。例如：水利工程中的土坝、土堤、水闸、挡土墙、码头、船闸等等。（一）竖直线荷载作用下的附加应力沿无限长直线上作用的竖直均布荷载称为竖直线荷载，如图322所示(见教材P80)，当地面上作用竖直线荷载P时，地基内部任一深度z处的附
