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1、空间向量及其运算（二）教学目标1、掌握共线向量（或平行向量）的概念、向量与平面平行（共面）的意义、表示方法。2、理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3、会应用向量共线定理与共面定理处理三点共线与四点共面的一些简单问题；4、会应用向量的方法证明线线平行、线面平行，面面平行等问题。教学过程1复习：共线向量定义性质2新课讲授共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要呻 *寸条件是，存在实数对x、y，使p=x a+y b444证明：如果向量p与向量a、b共面，反之，如果存在实数对x、y，使p =x a +y b，对空间任一点M作MA = a， MB = b， MA
2、=x a，过点A 作AP=y b ,xa, yb分别与a,b共线，.xa, yb都在a,b确定的平面内。又；xa yb是以| xa |,| yb |为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在a, b确定的平面内.P =xa yb在a,b确定的平面内，即p与a,b共面推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对y，使 MP =x MA +y MB ；或对空间任一点 0 ，有 OP = OM +x MA +y MB对于空间任意一点 O ,因MP =OP-OM，代入MP =x MA +y MB整理即得式。又因为MA=OA-OM，MB =OB-OM，代入式整理可得
3、TI T T T T T OP = (1 - x - y)OM xOA yOB，即 OP 二 xOA yOB zOM (其中x y z = 1)可以证明平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的，式叫做平面MAB的向量表达式。注：向量等式的性质:向量等式也有传递性;向量等式两边加（减）相同的向量，仍得等式，即“移顶法则”仍成立;向量等式两边同乘以相等的数或点乘相等的向量，仍得等式。例3已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OE=k oa，T T I T T IOF=k OB,OG=k OC,OH=k OD ,求证：四点E、F、G、H共面；平面EG/平面AC。证明1 : （1）因
4、为四边形ABCD是平行四边形，所以AC 二 AB AD ；EG =OG OE =kOC -kOA= kAC =k(AB AD) =k(OB OA OD -OA)=OF -OE OH -OE =EF EH所以E、F、G、H共面。证明2 :因为A , B, C, D四点共面，所以存在不全为零的实数 x, y, z使得:oa=xOB yOC zOD而 OE 二 kOA 二 k xOB yOC zOD xkOB ykOC zkOD 二 xOF xOG zOH所以E，F，G，H四点共面注：以上两种证法就是证明三向量共面与证明四点共面的常用方法。（2） EF =OF -OE =k（OB-OA） =kAB，
5、由（1 ）知 EG =kAC，于是：EF / AB, EG / AC，所以平面EG /平面AC【例1】求证：顺次连结空间四边形各边中点所得的四边形为平行四边形证明：因为E、F、G、H分别为各边的中点。所以1 - 1 _EH 二 EA AH （BA AD） BD ；11 FG=FC CG 二（BC CD）二 CD22所以EH二FG，所以四边形EFGH为平行四边形 例 2】 三棱柱ABC-ABC 中，AABC为正三角形，D为AC的中点，求证：AB/平面CBD。证明1 :记AB =T T 4 T Ta, AC =b, AA =cT 耳 TT 斗 1AB 二 a : c, DB 二 AB - AD 二 a -21 叫DC DC CC b c2DB DC a c = ABDC 共面。因为B，平面CBD, AB7/平面CBD证明2 :连BC，取BC的中点E,连ED,贝 U BA/ED ,所以AB/平面CBD课堂练习：课后作业课时小结：本节课我们学习了共面向量的基本定理,并对这一定理做了证明和应用，对他的应用我们一定要掌握好，是证明直线共面和向量共面的基本方法。课后作业：作业
