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1、例谈中考数学能力考查南安国光初级中学吴文献联系电话：纵观近几年的泉州市数学中考试题和每年的各区市数学质检试卷，我们不难发现，数学综合题的重点都放在高中继续学习的函数问题上。此类题在中考中往往有起点不高、但要求较全面的特点。常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角函数相结合的综合性试题。同时考查学生初中数学中最重要的数学思想方法，如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。此类题融入了动态几何的变和不变，对给定的图形施行平移、翻折和旋转的位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。这些题目的特点是：注重考
2、查学生的实验、猜想、证明的探索能力。解题灵活多变，能够考查学生分析问题和解决问题的能力，有一定难度，但上手还是容易的。此类题还常常会以几个小问题的形式出现，相当于几个台阶，这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口，有利于考生发挥正常水平。（一）函数型综合题：压轴题的灵魂是数形结合，数形结合的精髓是函数，函数的核心是运动变化。这类题型是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；反比例函数，它所对应的图像是双曲线；二次函数，它所对应的图像是抛物
3、线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。ay例1 （2011四川凉山）二次函数 y ax2 bx c的图象如图所示，反比例函数【答案】Bx与正比例函数ybx在同【分析】本题把二次函数、反比例函数、正比例函数的图象和性质融合在一起。主要考察数形结合思想。【解题思路】由二次函数yax2bxc的图象可知，,图象开口向下，a0；,对称轴在y轴左侧,ba0,由a0,知b0。根据反比例函数图象的性质，当a0时，函数y图象在二、四象限;2ax根据正比例函数图象的性质，当b0时,y随x的增大而增大，则二次函数2ykxkx的大致图象
4、是（）1力3例2（2011广西桂林）已知二次函数y-x2-x的图象如图.42（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若/ACB=90,求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M,以AB为直径，D为圆心作OD,试判断直线CM与OD的位置关系，并说明理由.【分析】该题通过平移抛物线，把观察、探究、计算融合在一起，将二次函数的性质，平移的性质，待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，勾股定理和逆定理，相似三角形的判定和性质等初中数学的主干知识融为一体。蕴含着数形结合思想、化
5、归的思想、方程与函数的思想、运动变化等数学思想。【解题思路】(1)根据对称轴公式求出x2,求出即可。2a(2)用待定系数法设出平移后的解析式即可得出图象与X轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可。(3)由抛物线的解析式y即可证明。123,，一-x2-X4可得，A,B,C,M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出42CDCM,1o3【答案】斛：(1)由y-xx,得x42(2)如图1,设平移后的抛物线的解析式为yb3,.D(3,0)2a则C(0,k),oc=k,1一1o3令y=0,即一xxk0,42法一:得x13.4k9,x234k9A34k9,0B34k9,0.AB24k9334k9216k36,2
6、22AC2BC2k2k222k28k36。.AC2+BC2=AB2,即：16k抛物线的解析式为3612-x4k23-x28k36,得k1=4,k2=0(舍去)，法二：可证AOC:得OC2OAOB,即k216,(3)如图2,由抛物线的解析式23:-x4可得,2A(2,0),B(8,0),C(4,0)过C、M作直线，连接CD,则MH=3,作MH垂直y轴于H,DM225-46251622CM2MH222CH232254225o16在RtACOD中,CD.3242点C在OD上。2225.DM2一462516DM2=CM2+CD2。ACDM是直角三角形。法二：可证COD:MHC,得CDCMCD,CM直线
7、CM与OD相切变式题2（2011湖北荆州）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA所在直线为X轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）.若OP过A、B、E三点（圆心在X轴上），抛物线12y-X2bxC经过A、C两点，与X轴的另一交点为G,M是FG的中点，正万形CDEF的面积为1.4（1）求B点坐标；（2）求证：ME是OP的切线；（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N,Q点是此对称轴上不与N点重合的一动点，求ACQ周长的最小值；若FQ=t,Sxacq=S,直接写出S与t之间的函数关系式.图甲（二）几何型综合题：这类题型是先给定几何图形，根据已知条件进行计
8、算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式（即在没有求出之前，不知道函数解析式的形式是什么）和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，探索研究的一般类型有：在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；四边形是菱形、梯形等；探索两个三角形满足什么条件相似；探究线段之间的位置关系等；探索面积之间满足一定关系求x的值等；直线与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y=f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的
9、方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y=f（x）的形式）等。找等量关系的途径主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。例3（2011四川宜宾）如图，正方形ABCD的边长为4,P为正方形边上一动点，运动路线是ZACHBfA,设P点经过的路程为x,以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y.则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）【分析】该题主要考察动点问题的函数图象。中，已知点 A （0, 2）,点P
10、是x轴上一动点，以线段 AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到【解题思路】当点P由点A向点D运动时，y的值为0；当点p在DC山运动时，y随着x的增大而增大；当点p在CB上运动时，y不变；当点P在CA上运动时，y随x的增大而减小。故选B变式题3（2011安徽）如图2,点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点.设乂C=2,尸二K,AAMN的面积为尸，则关于内的函数图象大致形状是（）原点O处时，记Q的位置为Bo（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，/ABQ为定值；（3）是否存在点P,使彳导以A、0、
11、Q、B为顶点的四边形是梯形若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。【分析】本题通过熏动”带来形动”，把观察、操作、探究、计算融合在一起，巧妙将等边三角形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定等初中数学的主干知识综合在一起。蕴含着数形结合思想、化归的思想、分类讨论思想、运动变化等数学思想。【解题思路】(1)根据题意作辅助线过点B作BC，y轴于点C,根据等边三角形的性质即可求出点B的坐标。(2)根据/PAQ/OAB=60,可知/PAO=/QAB,得出APSAAQB总成立，得出当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时，/ABQ为定值90o(3)根据点P在X的正半轴还
12、是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。【答案】解：(1)过点B作BCy轴于点C,在.A(0,2),AAOB为等边三角形，jLAB=OB=2,/BAO=60；/.BC=T3,OC=AC=1。即b(V3,1)。/(2)不失一般性，当点P在X轴上运动(P不与O重合)时，Q/PAQ=/OAB=60:/PAO=/QAB,1在AAPO和AAQB中，AP=AQ,/PAO=/QAB,AO=AB,.APSAAQB总成立。/ABQ=/AOP=90总成立。当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时，/ABQ为定值901(3)由(2)可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，皆.AO与BQ不平行。H当点
13、P在X轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB/OQ,四边形AOQB即是梯形，当AB/OQ时，/BQO=90,/BOQ=/ABO=60。又OB=OA=2,可求得BQ=，3。rX由(2)可知，AAPOAAQB,.OP=BQ=J3,此时p的坐标为(J3,o)。当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方,此时，若AQ/OB,四边形AOQB即是梯形，当AQIIOB时，/ABQ=90,/QAB=/ABO=60。又AB=2,可求得BQ=2召，由（2）可知，AAPOAAQB,.OP=BQ=2a/3,此时P的坐标为（2后,0）综上所述，P的坐标为（变式题4（2011江苏泰州）AC、BD相交于点P,顶点在平面
14、直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O）,顶点C、D都在第一象限。（1）当/BAO=45时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点在/AOB的平分线上；（3）设点P至ijx轴的距离为h,试确定h的取值范围，并说明理由。近几年的中考数学综合题都重视知识间的联系与整合，在知识交汇处，设置多层次的开放性、观察操作、阅读理解、合理猜想、推理探究，考查数学思考和解决问题的能力。这启示我们在进行综合思维的时候要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，方程函数是工具，计算推理得严谨，创新品质得提高。附变式题答案：P都1.2.【答案】B【答案】解：（1）如图，连接PE、PB,设PC=n,正方形CDEF面积为1根
