《高中数学三角形中的边角关系的题型总结-正余弦定理的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学三角形中的边角关系的题型总结-正余弦定理的应用（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学三角形中的边角关系正余弦定理的应用一、知识要点1、 三角形内角和定理：A+B+C= ， = -(+)三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin=cos(+)， cos=sin(+)， tan=cot(+) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B)3、 三角形面积公式 absinC=bcsinA=casinB=其
2、中p=（a+b+c）如中，若，判断的形状（答：直角三角形）。4、 正弦定理=2RsinA sinB sinC a= b c sinA=，sinB=，sinC= a=2RsinA， b=2RsinB， c=2RsinC 适用类型：AASS，SSA A (2,1,0解) 务必注意有两解！4、三角形射影定理：a=bcosC+ccosB, b=acosC+ccosA, c=acosB+bcosA,5、余弦定理 适用类型：SSSA，SASS，AASS(2,1,0解) 务必注意有两解！注：常选用余弦定理鉴定三角形的形状.5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c为三角形的最大边 + ABC是钝角三角形 6
3、、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tantan+tantan+tantan=1、若三角形三内角成等差数列，则B= 三边成等差数列，则0dB sinAsinB ，ABcosAcosB， 但sinA cosA 不一定成立，sinA +sinB +sinC cosA +cosB+cosC（2）反之，若任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，则ABC是锐角三角形；（3）若某一个角的正弦大于另一个角的余弦，不一定是锐角三角形；（4）若某一个角的余弦大于另一个角的正弦，cosAsinB，则ABC是钝角三角形。11、在锐角三角形中，
4、任意一个角的正切大于另一个角的余切，tanAcotB， tanAtanB1，tanA+tanB+tanCcotA+cotB+cotC12、 特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（2）在中，AB是成立的_条件（答：充要）；（3）在中， ，则_（答：）；(4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则_（答：）；（5）在中，若其面积，则=_（答：）；（6）在中，这个三角形的面积为
5、，则外接圆的直径是_（答：）；（7）在ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，的最大值为（答：）；（8）在ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（答：）；（9）设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求（答：）二、典型题型分类解析题型1：正、余弦定理例1.（2009岳阳一中第四次月考）.已知中，则（ ） A B C D 或答案 C例2（1）在中，已知，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。解析：（1）根据三角形内角和定理，；根据正弦定理，；根据正弦定理，（2）根据正弦定理，因为，所以，或当时， ，当时， ，点评：应用
6、正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例3（1）在ABC中，已知，求b及A；（2）在ABC中，已知，解三角形解析：（1）=cos=求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos解法二：sin又，即（2）由余弦定理的推论得：cos；cos；点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。例4（2009全国卷理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求b 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过
7、多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,.所以又，即由正弦定理得，故 由，解得.评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练例5.在ABC中,已知a =,b=,B=45,求A、C及c.分析：这是一个已知两边及一边的对角解三角形的问题，可用正弦定理求解，但先要判定ABC是否有解，有几解，亦可
8、用余弦定理求解.解： B=4590,且b1.因为0C,所以C.例10.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosA=.(1)求的值;(2)若,求bc的最大值. 高考资源网分析：(1) 条件是明确的，但一时用不上，怎么办？，让目标式向条件式转化，也就是将转化成cosA的代数式然后求值；高考资源网(2)由条件及()的结论，立即想到可用余弦定理破题.解：（1）ABC中，sin=cos.sin2+cos2A=cos2+cos2A=+2cos2A1=2cos2A+cosA=2.高考资源网(2)由余弦定理：=cosA=.,当且仅当b=c,即ABC为等腰三角形时，(bc)max=.小结：本题
9、亦可用正弦定理解出。但解法不及用余弦定理简单：cosA=由正弦定理：,高考资源网=cos(B+C)cos(BC)=cosA+cos(BC)(+1)=.当且仅当B=C,即ABC为等腰三角形时，(bc)max=.高题型4：三角形中求值问题例11的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=，得=，所以有cos =sin。cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin=2(sin )2+ ；当sin = ，即A=时, cosA+2cos取得最大值为。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结
10、果。例12（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足， （I）求的面积； （II）若，求的值解（） 又，而，所以，所以的面积为：（）由（）知，而，所以所以点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力例13.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I）求的值；（II）若，求的值。 解（I）为锐角， （II）由（I）知， 由得，即又 题型5：三角形中的三角恒等变换问题例14在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求A，需找A与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的
