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1、函数是高中数学教学中最重要的内容,是高中数学的一条主线,从高一的初等函数学习到高二的通过数列、不等式、解析几何的学习,理解数列是一种特殊的函数,再到导数、积分等知识的运用,函数都贯穿在高中数学学习的始末,它的思维几乎渗透了每一个数学分支,也延伸至大学的高等教育中；当今社会,电脑知识在不断地普及,很多领域都会用到函数(如计算机编程C+函数)。函数作为高等数学的基础,所体现出来的变量思想对于数学的发展具有里程碑的意义,使人们进入了数学发展的新时代。所以学好函数对学生的学习、生活都有着举足轻重的作用,而这部分知识又因为其抽象性、综合性而成为不少学生在数学学习中望而却步的“鬼门关”和频频出错的“重灾区
2、”,学生在函数的学习中有哪些易错点,在教学中教师又应采取什么对策呢?笔者在长期的教学实践得到如下结论:一、函数概念理解不全面例1:下列四组函数中,表示同一个函数的是()A.y=x,y= B.y=,y=, C.y=,y=x+1 D.y=x,y=错因分析:选A或C或D的学生只是错误的化简后发现解析式相同,而根本不考虑定义域的问题,而不选B的学生是认为自变量的字母不同。根本原因是忽视函数的定义域；不清楚函数概念的实质。思考问题缺乏条理。解题策略:准确理解函数的概念,教学中应让学生明确:判断两个函数是否为同一函数,必须“三相同”:定义域、值域和对应法则相同,而在一般解题过程中只需判断两个函数的定义域与
3、对应法则是否完全相同即可。解这类题一般按以下条理推演:(1)判断解析式相同否?若同,则进一步判断定义域同否?(2)若解析式不同,则在对解析式进行适当变形后再判断解析式同否?定义域同否。教师在进行函数概念教学时,一定要对函数的定义域、对应法则、值域的本质讲解到位,课后的作业不能只按课本练习布置,教师可设置一些变式题暴露学生学习中存在的问题。二、对函数及定义域的概念内涵理解不清例2:已知函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(x+2)及f(x2-3)的定义域。错因分析:不少学生求得函数f(x+2)的定义域为(2,3),他们错误的把x+2中的x的取值看成是0x1,而把x+2的值看成了f(x+2)
4、所求的定义域,而没有理解它的自变量还是x,求函数f(x+2)的定义域其实是求f(x+2)中的x的取值。错误的真正原因是对对应法则的符号不理解；不清楚定义域的含义。解题策略:此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式,属于抽象函数题型,学生一般比较害怕。这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情:定义域是指x的取值范围；受对应法则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的。那么由f(x)的定义域是(0,1)可知法则f制约的量的取值范围是(0,1),而在函数f(x+2)中,受f直接制约的是x+2,而定义域是指x的范围,因此通过解不等式0x+21得-2x-1,即f(x+2)的定
5、义域是(-2,-1)。同理可得f(x2-3)的定义域为(-2,-3)(3,2)。教师讲解函数的定义域时,一定要讲清楚自变量是谁,受f制约的量与自变量的联系,结合换元法设置一些练习,让学生真正掌握其本质。三、对抽象函数的性质把握不到位例3:设函数f(x)在R上有定义,f(x)的值不恒为零,对于任意的x、yR,恒有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,则函数f(x)的奇偶性为_。错因分析:此种题型是抽象函数题型,高一开始学时可能不会做。原因在于误读抽象函数的有关性质；对“恒成立”的理解不清晰,不能将其转化为所需求的结构。此种由一般到特殊,或由特殊到一般的转变是学生思维的一个难点。既然“恒成立”,那
6、么令x或y取一些特殊值当然也成立,由此可转化成判断奇偶性需要的式子。解题策略:怎样才能由给出的条件得到f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)?关于对抽象函数“f(x+y)=f(x)+f(y)”的使用一般有以下两个思路:令x,y为某些特殊的值,如本题解法中,令x=y=0,得到了f(0)=0。当然,如果问学生为什么不令x=y=1得到f(2)=2f(1)等,效果会更好。令x,y具有某种特殊的关系,如本题解法中,令y=x,得到f(2x)=2f(x),在某些情况下也可令y=1x,y=x,等等。解:令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0,再令y=-x,则f(0)=f(x)=f
7、(-x),所以f(-x)=-f(x),又f(x)的值不恒为零,故f(x)是奇函数而非偶函数。函数的奇偶性是函数的重要性质,是高考的常考点。教师讲解函数的奇偶性时,要强调奇偶性的判断方法只有图象法和定义法两种,要证明它的奇偶性只能按定义法,看看能否得到f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(-x)。教师可给出一些变式题,让学生掌握本题所列举的两个思路。四、对抽象函数的单调性无从下手例4:已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数。(1)比较f(a2+1)与f(2a-1)的大小；(2)若f(a2)f(2a+3),求实数琢的取值范围。错因分析:此种题型因为是抽象函数题,很多学生会感觉无从下手,单调增函
8、数所暗藏的条件学生不会用,究其原因是对函数概念中的对应法则的理解不清楚；没有理解增函数概念的实质,不会将其应用于解决问题。解题策略:回顾单调增函数的定义,在x1,x2为区间任意两个值的前提下,有三个重要的问题:x=x2-x1的符号；y=f(x2)-f(x1)的符号；函数y=f(x)在区间上是增还是减。由定义可知:对于任取的x1,x2,若x2x1,且f(x2)f(x1),则函数y=f(x)在区间上是增函数；不仅如此,若x2x1,且函数y=f(x)在区间上是增函数,则f(x2)f(x1)；若f(x2)f(x1),且函数y=f(x)在区间上是增函数,则x2x1；于是,我们可以清晰地看到,函数的单调性
9、与不等式有着自然的联系,抽象函数的函数值的大小比较即可以转化成蕊制约的量的大小的比较,即只需比较a2+1与2a-1的大小即可。解:(1)因为a2+1-2a+1=(a-1)2+10,所以a2+12a-1,由已知,f(x)是单调增函数,所以f(a2+1)f(2a-1)。(2)因为f(x)是单调增函数,且f(a2)f(2a+3),所以a22a+3,解得a3或a-1。函数的单调性是学生比较喜欢的一种题型,教师只要讲清单调性的本质,讲清抽象函数单调性的处理,学生一般还是能接受的。以上四种错处是笔者在多年高中函数教学中发现的学生出错率最高的易错点,只有按以上相应的策略有针对性的加以解决才能取得很好的教学效果。其实,函数的概念与性质的题型难点主要有两个方面:一是概念与性质的理解,教师要总结函数问题中易隐含的条件,总结函数相关性质的结论,辨析易混淆的概念。二是学生的审题能力,审题方面,要教会学生审题,不要代替学生审题。教师只要在概念的教学上、总结上、练习上处理恰当,学生关于函数的概念与性质的学习定能得到突破。
