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1、课程教学大纲 学 院：理学院 系、教研室：应用数学教研室 课程名称：复变函数与积分变换 课程代码：适用专业：复变函数与积分变换教学大纲一、课程性质和任务 复变函数是工程数学的一门基础课，是学习工程数学其他课程（如积分变换）和专业技术基础课（如自动控制理论）所必需的。通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基本理论，基本方法及基本运算技能，为学习后继课程提供比较扎实的复变函数知识，进一步培养和训练学生运用数学的方法分析问题和解决问题的能力。二、课程基本要求本课程内容按教学要求的不同分为两个层次。其中，应使学生深入领会、掌握的概念、理论用 “理解”表述，方法、运算用“掌握”表述。在教学要求上较低的概
2、念、理论用 “了解”表述，方法、运算用“会”或“了解”等词表述。三、课程内容（一） 复数与复变函数1、复数及其代数运算 理解复数的概念，掌握复数的代数运算（+，-，）2、 复数的几何表示 掌握复数各种表示法及各种表示法的转化。3、 复数的乘幂与方根 掌握复数的乘幂运算与方根运算。4、 区域 了解区域的概念，了解复球面及无穷远点。5、 复变函数理解复变函数的概念，复变函数的几何解释。6、 复变函数的极限和连续性了解复变函数的极限、连续的概念，了解复变函数极限、连续判别的充要条件。教学重点：复变函数的概念教学难点：复数的方根运算，幅角的求法。（二）解析函数1、 解析函数的概念理解复变函数的导数概念
3、，掌握复变函数的求导法则；理解解析函数的概念，掌握解析函数的四则运算法则。2、 解析函数的充要条件 掌握函数可导与解析的充要条件。3、 初等函数 了解复变量初等函数的定义、性质、解析性，了解与实变量初等函数的区别。教学重点：解析函数的概念，解析函数判别的充要条件，初等函数的概念及其解析性。教学难点：初等函数的多值性。 （三） 复变函数的积分1、复变函数积分的概念了解复变函数积分的概念，积分的存在性及计算公式，了解复变函数积分与两个二维曲线积分的关系；会求复变函数的积分。2、柯西古萨基本定理理解柯西古萨基本定理，掌握解析函数积分的计算公式。3、基本定理的推广复合闭路定理 掌握复合闭路定理，了解闭
4、路变形原理。4、柯西积分公式理解柯西积分公式，掌握用柯西积分公式计算积分。5、解析函数的高阶导数 掌握解析函数的高阶导数公式（证明不要求），了解解析函数无限次可导的性质。6、解析函数与调和函数的关系了解调和函数和共轭调和函数的概念。了解解析函数与调和函数的关系，会从解析函数的实(虚)部求其虚(实)部；教学重点：复变函数的各类积分（积分四个公式）；解析函数与调和函数关系。教学难点：解析函数沿非闭曲线积分、共轭调和函数概念。教学建议：对复变函数的各类积分方法进行归纳总结。（四）级数1、复数项级数 了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念，了解复数项级数收敛充要条件。2、幂级数 了解幂级数收敛的概念
5、，了解阿贝尔定理，会求幂级数的收敛圆和收敛半径。了解幂级数在收敛圆内的一些基本性质。3、泰勒级数理解解析函数在圆内收敛于泰勒级数的理论（证明不要求）；掌握几个常用函数的麦克劳林展开式；会利用它们将一些简单的解析函数展开为泰勒级数。4、洛朗级数 理解解析函数在圆环域内收敛于洛朗级数的理论（证明不要求）；会用间接方法将简单的函数在其孤立奇点附近展开为罗朗级数。教学重点：圆内解析函数的泰勒展开式。 圆环内解析函数的罗伦展开式。教学难点：圆环域上解析函数的罗伦展开法。（五） 留数1、孤立奇点 理解孤立奇点概念与分类，掌握孤立奇点的判别法；掌握零点与极点关系。2、留数 理解留数的概念，掌握孤立奇点处留数
6、的求法(不包括无穷远点)；3、留数定理理解留数定理；掌握用留数求围道积分的方法，。教学重点：留数的概念及计算.教学难点：极点级数判别，利用留数计算围线积分。（六）傅里叶变换1、傅里叶积分公式了解周期函数的复指数形式的付里叶级数；了解非周期函数傅里叶积分公式；了解傅里叶积分存在定理。 2、傅里叶变换理解傅里叶变换及逆变换的概念；了解单位脉冲函数及其傅里叶变换，了解广义傅里叶变换；掌握四个常用函数()的傅里叶变换公式。3、傅里叶变换的性质 掌握傅里叶变换的性质（线性性、位移性、微分性、积分性、对称性、相似性（乘积定理不要求）。 4、卷积 理解卷积的概念，会求分段函数的卷积；了解卷积定理。 教学重点
7、：傅里叶变换的概念和性质。教学难点：单位脉冲函数，广义傅里叶变换 （七）拉普拉斯变换1、拉普拉斯变换的概念理解拉氏变换的概念，注意它与傅里叶变换的区别、联系；了解拉氏变换的存在定理；掌握七个常用函数的拉氏变换公式。2、拉普拉斯变换的性质掌握拉氏变换的性质初值定理不作要求；掌握常用函数求拉氏变换的方法。3、拉普拉斯变换逆变换 掌握求拉氏逆变换的方法（包括留数法） 4、卷积 理解卷积的概念及卷积定理； 5、拉普拉斯变换的应用 能熟练应用拉氏变换求解常系数的微分方程(组).会用拉氏变换求解“积分型”方程. 教学重点：拉氏变换的概念、性质与应用 教学难点：拉氏逆变换的计算。 四、本课程与其它课程关系本
8、课程需要以高等数学为基础，必须以高等数学为先行课。五、教学学时分配：序号教 学 内 容总学时讲课习题课1复数与复变函数662解析函数663复变函数的积分664级数665留数6426傅里叶变换887拉普拉斯变换108248444六、教材及参考书：教材：西安交通大学高等数学教研室.复变函数（第三版）,高等教育出版社. 南京工学院数学教研组.积分变换(第三版), 高等教育出版社. 参考书：1.复变函数与积分变换导教.导学.导考.西北工业大学出版社. 2.复变函数（第四版）学习辅导与习题选解。高等教育出版社。 3复变函数与积分变换哈尔滨 业大学数学系组编。科学出版社。 教研室主任：陆伟成 教学院长：徐玲
