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1、 3.1 变化率与导数（） 学习目标 1通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景；2会求函数在某一点附近的平均变化率；3会利用导数的定义求函数在某点处的导数。 学习过程 一、新课导学 学习探究一问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?新知：平均变化率：_=_ 试试：设，
2、是数轴上的一个定点，在数轴上另取一点，与的差记为，即= 或者= ，就表示从到的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为，即= ；如果它们的比值，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 典型例题例1已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率： （1）1，1.1；（2）1，2变式：已知函数的图象上一点及邻近一点，则= 小结1.函数的平均变化率是 2.求函数的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 学习探究二问题3：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运
3、动员的运动状态有什么问题吗？新知：1 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.2导数的概念从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数在出的导数，记作或，即 说明： 典型例题例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油的温度（单位：）为. 计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.小结利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量；第二步：求平均变化率；第三步：取极限得导数. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在内的平均变化率为（ ）A3 B2 C1 D02. 设函
4、数，当自变量由改变到时，函数的改变量为（ ）A BC D3. 质点运动动规律，则在时间中，相应的平均速度为（ ）A BC D4. 在附近的平均变化率是_5. 一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（ ）从时间到时，物体的平均速度； 在时刻时该物体的瞬时速度； 当时间为时物体的速度； 从时间到时物体的平均速度6. 在 =1处的导数为（ ）A2 B2 C D17. 在中，不可能（ ）A大于0 B小于0 C等于0 D大于0或小于08.如果质点A按规律运动，则在时的瞬时速度为 9. 若，则等于 课后作业 1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期
5、限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？2. 一质量为3kg的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s）的关系可用函数表示，并且物体的动能. 求物体开始运动后第5s时的动能.1. 的变化情况. 2已知函数的图象,试画出其导函数图象的大致形状.3.2.1几个常用函数导数 学习目标 1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习过程 一、课前准备（预习教材P88 P89，找出疑惑之处）复习1：导数的几何
6、意义是：曲线上点（）处的切线的斜率.因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为 复习2：求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量 （2）求平均变化率 （3）取极限，得导数 = 二、新课导学 学习探究探究任务一：函数的导数.问题：如何求函数的导数新知：表示函数图象上每一点处的切线斜率为 .若表示路程关于时间的函数，则 ，可以解释为 即一直处于静止状态.试试： 求函数的导数反思：表示函数图象上每一点处的切线斜率为 .若表示路程关于时间的函数，则 ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，并根据导数定义，求它们的导数. （1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2
7、）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数增（减）的快慢与什么有关？ 典型例题例1 求函数的导数变式： 求函数的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限. 例2 画出函数的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程.变式1：求出曲线在点处的切线方程.变式2：求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的. 动手试试练1. 求曲线的斜率等于4的切线方程.(理科用)练2. 求函数的导数三、总结提升 学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟
8、记求导的三个步骤： ， ， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的. 知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那正是在这里.” 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.的导数是（ ）A0 B1 C不存在 D不确定2.已知,则（ ）A0 B2 C6 D93. 在曲线上的切线的倾斜
9、角为的点为（ ）A B C D4. 过曲线上点且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为，则物体在时的速度为 ，在时的速度为 . 课后作业 1. 已知圆面积，根据导数定义求.2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么天后，氡气的剩余量为，问氡气的散发速度是多少？3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 学习目标 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数. 学习过程 一、课前准备（预习教材P90 P92，找出疑惑之处）复习1：常见函数的导数公式：；
10、 ；且；.复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1） （2） （3）（4） 二、新课导学 学习探究探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数新知： 试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数的导数. 典型例题例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价(单位：元)与时间(单位：年)有如下函数关系，其中为时的物价.假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?变式：如果上式中某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加
11、. 已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%； （2）98%.小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. 动手试试练1. 求下列函数的导数：（1）； （2）；（3）； （4）.练2. 求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）三、总结提升 学习小结1由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数. 2对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误. 知识拓展 1复合函数的导数：设函数在点x处有导数，函数y=f(u)在点
