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1、第九章 常微分方程数值解（上）0 引言一阶常微分方程初值问题 （*）其中是平面某一区域D上的连续函数，如果，满足 存在，并满足方程那么是初值问题（*），在上的解。对于（*）是否有唯一解？对还要附加一些条件。定义 如果存在常数，使得对任有则称满足Lipschitz条件，L为Lipschitz常数。 如果 ，那么有导数有界满足Lipschitz条件如果存在常数，使得对一切及有 则称对满足Lipschitz条件定理（存在唯一性），设是在上的连续函数，而且对满足Lipschitz条件，则对任，初值问题（*）在上存在唯一的连续可微解。为了对初值问题进行求解，一些简单问题有解析解，大量非线性问题没有解析表
2、达式，因此，近似求解和数值求解常微分方程是非常必要的。首先对连续区间离散化为常数。离散点是等矩的也可以不等距的，下面仅讨论等距情况。 在处的值记为，其近似值用表示1 简单数值方法（I）显式Euler方法Euler方法是求常微分方程初值问题的最简单办法。 略去高阶项 即 设是初值问题的解，那么有从而有左边称为差商，即用差商近似微商从开始，再利用 （*）得 的近似值，再以作为的近似值，由（*）得到的近似值 （1）这是计算初值问题近似解的公式，当已知时，可由公式（1）简单地求出，方法称为显式的，由上的近似值可求出上的近似值，称为单步公式，（1）称为显式Euler方法。（II）隐式Euler方法 略去
3、高阶项，并设是初值问题的解，则有即写为同样用 的近似值代入有 （2）（2）的右端含有，不能直接由（2）可得，这种方法称为是隐式的。（2）称为隐式Euler方法；由于不能由直接计算出，而是要解方程，一般用迭代方法，即 取，或用显式求出作为 即 。 当 时，取这样方法称为迭代法考虑迭代收敛性： 当收敛；称为迭代收敛条件（III）梯形方法在上对上式进行积分有等式右边采用梯形公式近似有 用来代替就得到 （3）此公式称为梯形公式，由于等式右边含有，因而是隐式方法。用它们来求时必须解方程，一般用迭代求解。取，迭代公式为同样，当时，取；仿隐式Euler方法推导，梯形公式迭代收敛条件为例 取 计算到Euler
4、方法用 代入有 梯形方法 用，代入有 由于是线性方程，因此不用进行迭代Euler方法与梯形方法计算比较：从数值结果看出，梯形公式比Euler公式好，但一般梯形公式需要进行迭代，因此做一步费时；“计算效率”比较，应从精度，耗机时等方面进行比较，还应从实际对精度要求来考虑。（IV）予估一校正方法为了消除迭代，出现了予估一校正的方法，先给出粗糙估计，然后再给出稍精确的求解，这是微分方程数值解常用方法。改进Euler方法 予估 校正或写成 这公式称为改进的Euler公式，其精度比Euler公式好，比梯形公式稍差些。例子 用Euler方法和改进Euler方法解初值问题。 步长取 ；由0计算到3。 可以看
5、出改进Euler方法较为精确（V）显式单步方法基本概念已经引入了四种方法；Euler方法，隐式Euler方法，梯形方法，以及改进Euler方法，其中二种为隐式方法，Euler方法与改进Euler方法为显式方法，下面重点讨论显式方法，对于隐式方法在多步方法中讨论。其中，一般显式方法可以统一写成如下形式 从开始进行计算， 在处微分方程初值问题 的精确解。 与之差 称为方法在处的整体截断误差，当然这与整个计算中每步情况有关，但一般求得较为困难，因此先考虑一步的截断误差：Euler方法 是典型单步方法，定义：称为显式单步法在处的局部截断误差，其中是微分方程初值问题在处的精确解。显然对于单步方法 如果每
6、步是精确的 那么 即 为是精确值，用显式单步法计算一步的误差，因此称为局部截断误差。关于误差仅讨论截断误差，舍入误差暂不讨论。考虑显式Euler方法 按定义： 假定在a,b上有连续二阶导数，即。令局部截断误差，当时，与同阶，即是二阶的。下面讨论Euler方法的整体截断误差。 （插入项，引用局部截断误差） 由于微分方程的初值问题解存在唯一，一个充分条件是关于y满足Lipschitz条件，即存在L有 同样推导有 由于 取 ，故 注意到：，等比级数 h是步长， 当时，整体误差，即当h充分小时充分接近，可以看出的误差阶不同。隐式Euler方法 (定义)仅讨论 与显式Euler公式大体相同。梯形方法 下
7、面仍考虑一般显式单步方法 定义 设是 的准确解，对显式单步法，则满足的最大整数P，称为显式单步方法的阶 Euler方法是一阶的相似地称（在多步法中）：隐式Euler方法也是一阶 梯形方法二阶要考虑其方法的阶，必须求出局部截断误差，一般关心其展式第一项。 定义 若方法是P阶的，其局部截断误差 为局部截断误差主项Euler方法 局部截断误差主项为 讨论改进Euler方法的局部截断误差 要用到二维Taylor展开， 注意到：， 可以看出 此方法是二阶的2 Rung-Kutta方法（I）用Taylor展开构造高阶方法利用方程 把这些导数代入的有限项展式，就得到Taylor展开方法。例如 Euler公式
8、Euler方法是1阶方法，而上面是2阶方法。 这是三阶方法。 还可以类似推导下去，得到高阶方法，但是要计算很多偏导数。特别f复杂时，这方法不实用，因此想采用这样思想，又不计算导数，由此导出Runge-kutta方法。（II）Runge-Kutta方法Runge首先提出间接采用Taylor展开方法，即用在几个节点上函数值的线性组合来代替f的导数，然后按Taylor展开，确定其系数，以期提高方法精度，这样既避免f的导数计算，同时又保证了精度。令 （1）其中为待定权因子，R为使用的f值的个数，表示如下： （2） 具体写出有： （3） 其中参数为提高精度创造了条件；用R个称为R级R-K方法。取R=1
9、此时只有一个K1并有 （4）利用Taylor式来确定C1， 设为微方程初值问题的光滑解。假定那么（4）的右端可以写为 比较得 Euler公式局部截断误差 下面考虑则 （5）仍假定，对在处作Taylor展开把代入（5）有 对于 此式与上式比较得 有四个未知数，但仅有三个方程。取为自由参数， ，取 ，得中点公式取 ，得 改进Euler公式 Heun公式。对于三级方法 （6）利用Taylor展开，可以构造三阶方法。对于微分方程光滑解有 用代入（6）的右边有 与R=2时，同样比较系数可以得出 这是8个未知数，6个方程，有二个自由参数可选取。 对于R=4，可导出4阶方法。此时有13个参数，11个方程，推导更为复杂，常用的有经典Runge-Kutta方法。其中 这是经常使用方法，一般都有标准程序可调用例子，用Euler方法，h=0.025，改进Euler方法（二阶Runge-Kutta方法），h=0.05以及4阶Runge-Kutta方法，h=0.1解初值问题：比较计算结果利用可以得出精确解为Euler方法 改进Euler方法 4阶Runge-Kutta 计算结果： Euler 改进Euler 4阶R-K 精确解1
