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1、解析几何常见易错问题诊断文/谢长智一、轨迹方程问题例1 动点P到直线x1的距离与它到点的距离之比为2，则P点的轨迹是A.中心在原点的椭圆 B.中心在(5，0)的椭圆C.中心在原点的双曲线 D.中心在(5，0)的双曲线易错诊断 (1)根据求曲线轨迹的一般方法，在化简整理的过程中容易出错.同学们这时一定要防止畏惧心理，要细心，要保证步骤齐全，按部就班，同时要把曲线方程尽量化为自己熟悉的曲线方程的形式.(2)根据圆锥曲线的第二定义来判断，容易误认为P点的轨迹是中心在原点的椭圆.同学们这时一定要弄清利用圆锥曲线的第二定义得出的标准方程的条件.教材探源 (1)本题可根据教材中求曲线方程的基本方法及步骤来
2、解决：设点代入化简证明.(2)本题也可根据圆锥曲线的第二定义，即平面内到定点的距离与到定直线距离的比是常数(e)的点的轨迹来解决：若，则轨迹是椭圆；若，则轨迹是抛物线；若，则轨迹是双曲线.同学们要注意，只有定点坐标为，定直线方程为；或定点坐标为，定直线方程为，得出的椭圆的中心才在原点.否则，椭圆的中心不在原点.解析 设P点的坐标为（x，y），由题意得，它是由椭圆向右平移5个单位而得到的.所以P点的轨迹是中心在(5，0)的椭圆.选B.小结 求曲线的轨迹通常有两种方法：一是根据求轨迹的一般方法，先设出动点的坐标，把坐标代入点的坐标所满足的关系，通过化简整理，得出轨迹方程；二是根据已经掌握的常见轨迹
3、类型，考查所给条件中的动点满足哪一种轨迹类型，直接套用公式即可.二、对称问题例2 过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为A. B. C. D.易错诊断 通过设出一条直线的斜率，根据夹角公式，得出另外一条直线的斜率，学生在使用夹角公式时很容易出错.或者通过分析，利用的公式时出错.教材探源 教材中对于有关直线与圆位置关系的问题，通常利用数形结合的方法，根据直线与圆位置的特殊几何性状寻找解题思路，突破解题难点.如本题中根据圆的“切线长定理”，得出CP平分，从而得出的结论.解析 如图1，据题意可知，圆心，圆的半径为.当关于对称时，.选C.小结 对于有关直线与圆的问题，可以考虑
4、用方程的代数方法解决.由于直线与圆的几何图形的特殊性，位置关系有很多特殊的结论，若利用这些特殊的几何性状来处理，往往会使解题思路简捷，运算简单，不容易出错.三、线性规划问题例3 设，式中变量 x和y满足条件则z的最小值为A.1 B.-1 C.3 D.-3易错诊断 (1)没有作出正确的可行域；(2)没有注意可行域边界的虚实；(3)没有找准使目标函数取得最值的点的位置.因此，正确解决此类题的关键是，作图要准确，目标函数取最值时对应于可行域中的点要判断精确.教材探源 根据教材，对于线性规划问题，首先是作出可行域，然后作出的直线l0，把直线l0在可行域内平移，通过观察，当直线l0到达某个特殊位置，即过
5、可行域内的某个特殊点时，目标函数取得最值，把这个点的坐标代入目标函数即可得出结论.解析 本题考查了线性规划的有关问题.由题意可知，可行域如图2阴影部分所示.交点为(2，1)，目标函数z即为直线x-y=z在x轴上的截距，所以z的最小值为2-1=1.选A.小结 线性规划问题通常因为学生作图不准确，使目标函数取得最值的点的位置没有找准确而出错.解决此类问题的关键是理解题目条件，作出可行域，根据目标函数，找出使目标函数取得最值的坐标，有时也可根据各种特殊位置，得出正确结论.四、与弦有关的问题例4 已知点和，动点到两点的距离之差的绝对值为2，点的轨迹与直线交于两点，求线段的长.易错诊断 解答此类问题时容
6、易出错的是：(1)求解曲线方程时因对特殊曲线定义不熟悉，选用求曲线方程的一般方法来解，化简时出错；(2)在求线段的长时，通过求两点的坐标，然后根据两点间的距离公式求线段的长，这样运算量较大，常常出错.教材探源 本题考查了双曲线的定义及标准方程，在此基础上，通过把双曲线方程与直线方程组成方程组，利用消元法，得到关于x的一元二次方程，然后根据韦达定理，得出与，根据两点间的距离公式，利用变量代换，将原问题转化为与的形式，即可把与的值代入，从而得出结论.解析 设点，则有.根据双曲线的定义，可知点的轨迹是双曲线.由，得，故点的轨迹方程是.由消去，得.因为，所以直线与双曲线有两个交点.设交点为，则，.故(
7、或).小结 (1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，然后利用两点间的距离公式求出弦长；(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式或求出结果.如果直线方程涉及斜率，同学们要注意斜率不存在的情况.五、最值问题例5 已知椭圆内有一点，为椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，则的最大值与最小值分别是 .易错诊断 解答本题时容易出错的是：通过设出点P的坐标，由点P在椭圆上，满足椭圆方程，然后根据两点间的距离公式求出，利用点P的坐标满足的条件进行代换来解，这种方法不容易得出结论.教材探源 本题利用，把转化为，即当为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为；当为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为.
8、解析 如图3，设椭圆的右焦点为，则可知其坐标为.xyFFOPA由椭圆的定义得，.当为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为；当为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为.故的最大值为，最小值为.小结 由成立的条件，再延伸到特殊情形、共线，从而得出这一关键结论.涉及到椭圆上的一点到焦点或到准线的距离等有关的最值问题时，我们还常与椭圆的两个定义联系起来解题.【高考预测题】1.过双曲线的一个焦点且垂直于双曲线实轴的直线，交双曲线于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过双曲线的一个顶点，则该双曲线的离心率是A. B.3 C. D.22.抛物线的顶点为坐标原点，焦点为二次函数的图像的顶点，则此抛物线的标准方程为 .3.过点且被圆截得的弦长为的弦所在的直线方程为 .参考答案 1.D 2. 3.或
