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1、第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie2.1、质点在有心力的作用下运动，质点的速度的大小为，这里a是常数。已知时，速度与矢径间夹角为。求质点的轨道方程。解：质点受到有心力的作用，在极坐标系中有：，化简得：，变形有：分离变量：，积分有： c为积分常数初始条件：时 代入初始条件可得：，故又速度与矢径间夹角为，与比较可知：所以质点的轨道方程为：2.2、木星轨道的半长轴长度是5.2天文单位(1天文单位为，是太阳与地球的平均距离)。已知地球和木星的轨道都接近圆形。求出(i)木星绕太阳运动的周期(ii)木星的平均轨道速率。解：(i)由牛二定律知：，可解得：，式中(ii)因接近圆形 2.3、
2、月球的质量和半径分别是和，其中分别是球球的质量和半径。已知地球半径约为6370km，试求(i)月球表面处的重力加速度(ii)若在月球表面发射火箭，使之脱离月球，则火箭的发射速度至少是多少？解：(i)物体(质量为)在月球表面处受到的重力可看是成有引力的体现：同理此物体放在地球表面时有：两式相除有：(ii)只考虑火箭(质量为)和月球之间的引力，那么火箭和月球机械能守恒(取无穷远处为0势能)。火箭刚好脱离月球时，火箭的最小速度为0，势能为0，若月球的势能为V，则有：2.4、如果质点受到的有心力为，式中及都是常数，并且。试证其轨道方程可写为：，式中，A为积分常数，解：代入比内公式有：化简为：正是简谐振
3、动方程，故其通解为：，A为积分常数观察的形式，显然有特解，代入可得：所以的通解为：从而由已知，代入可得：2.5、一质点受遵循万有引力定律的有心力作用，作椭圆运动。和是过椭圆中心一直径的两端，和分别是质点在和处的速率。证明当和不是短轴端点时，是质点在短轴端点处的速率证明：如图所示，由于椭圆具有中心对称性，所以设的坐标为和的坐标为，由椭圆的定义知，到准线的距离为，由椭圆的定义知即那么质点受到万有引力定律的有心力作用，机械能守恒：在有：在点有：在短轴端点有：那么有：因和不是短轴端点，故，所以，即2.6、设地球的半径为，质量是。证明人造卫星在地球引力场中以椭圆轨道运动的速率由下式表示：。其中，是质点能
4、脱离地球的逃逸速度，即第二宇宙速度；是卫星轨道半长轴的长度。证明：由平方反比引力下质点椭圆轨道极坐标方程知：在近日点()有：，在远日点()有：又质点受受遵循万有引力定律的有心力作用，故机械能守恒：因于是有：，即又因，所以有：那么证毕。2.7、太阳绕银河系中心运动，其轨道运动速度约为250km/s，离银河系中心的距离为30000光年。以太阳质量为单位，估计一下银河系的总质量解：由于太阳绕银河系中心做圆周运动，有：查表有：，解得：所以从而银河系的质量2.8、一质点质量为，在有心引力作用下运动。试问质点的能量及角动量的大小分别为何值时，质点将按轨道运动？这里均为已知常数。解：质点受到有心力的作用，故
5、角动量守恒：因，所以，由牛顿第二定律可知：若取无穷远处的势能为零则机械能守恒：所以只有当，时，质点将按轨道运动2.9、一质量为的质点受两体谐振势的有心力作用。初始时质点沿半径为的圆轨道运动。(i)求出质点圆轨道运动的速度(ii)如果质点在轨道平面内受到一与速度成角的大小为的冲量作用，求质点在此后的运动中离力心的最大和最小距离(iii)当和时，从物理上对你所得到的结果分别作出解释解：(i) 质点受两体谐振势时，有心力为：质点做圆周运动，故有，解得(ii) 由题意知，初始时刻，时，与成的夹角。质点受有心力，施以冲量I后，角动量仍然守恒： (1)由极坐标系下的牛二定律知：积分有：代入初始时刻质点运动
6、的条件有：所以有：把，代入可得：由高数中求极值的知识可知，只需满足时，有极值。当即化简有：求根公式得：所以显然当时，质点离力心最远时，质点离力心最近或者利用机械能守恒和角动量守恒：把和代入可得：(iii) 当时，那么，又质点的轨道方程为：所以当时，质点在到的范围内，遵循运动规律当时，那么，所以当时，质点在0到的范围内，遵循运动规律2.10、一慧星在近日点处离太阳的距离是地球轨道半径的一半(假定地球作圆轨道运动)，在该处慧星的速率是地球轨道速率的二倍，试从守恒定律出发。(i)求出慧星轨道与地球轨道相交处慧星的速率(ii)问此慧星的轨道是椭圆、抛物线还是双曲线？为什么？(iii)它能脱离太阳系吗？
7、解：设慧星、地球和太阳的质量分别为：。地球轨道半径为R，地球轨道速率，慧星轨道与地球轨道相交处慧星的速率为(i) 地球作圆轨道运动：即慧星受到万有引的作用，机械能守恒：所以，T为1年，R查表，可求出速率。(ii)在平方反比引力作用下，设其轨道方程为：，这里在近日点：机械能守恒： 即，所以慧星的轨道为抛物线。(iii)由于慧星的机械能为0，动能可以用来克服引力势能，理论上能脱离太阳系。2.11、由于核电荷部分地被原了中的电子所屏蔽，屏蔽库仑势为，其中，为原子序数。试讨论电子在上述势场中作圆轨道运动时的稳定条件。解：电子受到库仑力作用，机械能守恒：式中为电子的有效势因由稳定性条件知，只需使有效势为
8、最小值，电子稳定。所以，即即代入得：，化简得：于是可解得2.12、地球轨道的偏心率。今若沿其半短轴将椭圆轨道分割为两半，证明地球在这两个半轨道运行的时间分别为；计算一下它们相差多少天？证明：若椭圆的长半轴为，则短半轴为，半焦距为地球周期为，建立如图所示的直角坐标系因地球是在太阳的万有引力作用下作椭圆运动，为有心力。角动量守恒：，变形有：等式左侧正好是地球轨道与太阳连线的面积，说明了太阳扫过的面积与时间是成正比(开普勒定律)。那么椭圆的面积为：令 ，那么，所以椭圆的面积为：沿半短轴将椭圆轨道分割为两半后，左侧和右侧分别扫过的面积为：又地球周期为，所以：，与相差2.13、质量为的质点在有心斥力场中
9、运动，式中是力心到质点的距离。为常数。当质点离力心很远时，质点的速度为，瞄准距离是。试求质点与力心间可能达到的最近距离解法1：由于质点在有心斥力场中运动，采用极坐标系，并选择力心为极点，则可列出运动学方程：由（1）和（2）式可得令，则，代入（3）式有（4）式是典型的简谐振动方程，具有如下形式的解：式中参数和待定。对（5）式两边分别对求导变形有：把（5）、（6）两式分别平方后两端再分别相加可得：因时，即时，代入（7）式可得：又角动量守恒，所以有：因，所以求最小，也即求最大。由（5）式知最大值为A，从而有：解法2：利用机械能守恒和角动量守恒，以及条件时，有最小值有心斥力场中势能为：角动量守恒， 设
10、无穷远处的势能为零机械能守恒：当质点的径向速度为0时，质点离力心最近，即，那么处的机械能为：可解得：解法3：机械能守恒：角动量守恒：同样求得2.14、试求出上题中质点受力心散射后的散射角，并求出微分散射截面。解：由上题可知，即式中，当时，即， 所以两支渐近线分别对应的角为：，两支渐近线之间的夹角为：那么散射角为：，或微分散射截面为：由散射角公式微分可知：所以把代入可得：即2.15、在光滑水平桌面上，两个质量分别为和的质点由一不可伸长的绳联结，绳穿过固定在水平桌面上的光滑小环，如图所示，若与小环相距时获得垂直于绳的初速，试写出质点的轨道微分方程，并解出它的运动轨道方程。解：设绳长为，建立平面极坐
11、标系，选择圆环为极点，质点 初始时绳方向为极轴。若的位置矢量为，绳子张力为，则的位置矢量为，绳子张力为对： (1)对： (2)令，代入(1)和(2)有： (3) (4)联立(3)和(4)有： (5)又初始时刻，质点状态：，即，由(5)式知 (6)把初始条件代入(5)、(6)可得：，2.16、质量为的质点，置于光滑的水平桌面上运动，如图所示。此质点系有一根轻绳，绳子穿过桌面处的光滑小孔下垂，并挂有一同样质量的质点B。若质点A在桌面上离小孔距离为处，沿垂直于绳子方向以初速率射出，证明质点在此后运动中离点的距离必在与之间。证明：采用柱坐标系，圆环为极点，轴垂直于桌面。若的的位置矢量为，绳子张力为则的位置矢量为，绳子张力为对：角动量守恒有： (1)牛顿第二定律： (2)对：牛顿第二定律： (3)A初始时刻的状态：， (4)由(2)、(3)有：，即分离变量：积分有：代入(4)有：所以由(1)知：，即因此为求的范围，即求的最大值和最小值，数学上体现在求从而令变形有：因式分解：解出或(舍去)所以质点在此后运动中离点的距离必在与之间。或利用角动量守恒和机械能守恒： (对A) (对AB)同样可得14
