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1、例题：已知差分方程，其中r(k)=1，k0，x(0)=1，x(1)=2。(1) 试由迭代法求其全解的前5项；(2) 分别由古典法求其零输入解、零状态解，以及全解；(3) 用Z变换法求解差分方程。解：注：解题过程中出现的下标“zi”和“zs”分别表示零输入条件和零状态条件。1. 迭代法题目中给出的条件仅仅是零输入初始条件，进行迭代求解时的初始条件应该是全解初始条件。(1) 零输入初始条件本题已给出零输入时的两个初始条件xzi(0)=1，xzi(1)=2。(2) 零状态初始条件取k=-2时，则，得xzs(0)=0；取k=-1时，则，求得xzs(1)=1。(3) 全解初始条件x(0)= xzi(0)
2、+ xzs(0)=1；x(1)= xzi(1)+ xzs(1)=3。(4) 根据求出的全解x(0)和x(1)，利用迭代法求解取k=0时，则，求得；取k=1时，则，求得；取k=2时，则，求得。2. 古典法(1) 零输入解令输入为零，则得齐次方程(a)根据差分方程定义的算子，可得它的特征方程求得特征根为：，于是其齐次解为将初始条件x(0)=1，x(1)=2分别代入，得到一组联立方程式求得系数C1，C2分别为：从而得到零输入解(2) 零状态解将单位阶跃激励信号分解为单位脉冲激励函数序列，则系统在单位脉冲激励作用下引起的响应的差分方程如下：(b)由于脉冲信号只在k=0时值为1，即。而在k为其它值时都为
3、零，利用这一特点可以很方便的迭代求出h(0)，h(1)和h(2)。取k=-2时，则，求得h(0)=0；取k=-1时，则，求得h(1)=1;取k=0时，则，求得。在此后（指k0时），(b)式右端恒为零。可以将(b)式看成是一个以h(1)和h(2)为初始条件的齐次方程（h(0)=0），如下(c)式。(c)上面已求出(c)式的通解又因为只有h(1)和h(2)才能够反映单位脉冲响应输入序列和对差分方程输出的影响，而其余时刻差分方程右侧均为零，成为“零输入”。则将边界条件h(1)=1，分别代入齐次通解得 解方程组求得系数C1，C2的值将求得的系数代入齐次方程得根据h(k)的表达式求得h(0)=-3，而实
4、际初始条件h(0)=0，则系统响应可分段表示为也可表示为(d)(d)式是原方程(1)式的零状态单位冲击响应。按照线性系统的迭加原理，求解单位阶跃信号的零状态响应为(3) 全解表达式系统完全响应=零输入响应+零状态响应求其全解的前5项进行验证取k=0时，则；取k=1时，则；取k=2时，则；取k=3时，则；取k=4时，则。与由“迭代法”求得的结果相同。3. Z变换法对差分方程两边同时进行Z变换由线性定理可得由超前定理可得 将初始条件x(0)=1，x(1)=2及代入得整理后得其中A，B，C为待定系数，采用部分分式法求解将A，B，C代入得到对X(z)进行Z反变换后可得差分方程的解对比可知，由Z变化法求解差分方程是最简单的。以上工作由2013级一年级研究生完成。
