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1、经典易错题会诊与2012届高考试题预测（十一）考点11空间向量求异面直线所成的角求直线与平面所成的角求二面角的大小求距离利用空间向量解立体几何中的探索问题利用空间向量求角和距离经典易错题会诊命题角度 1求异面直线所成的角1（典型例题）如图11-1，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。（1）证明：面PAD面PCD；（2）求AC与PB所成的角；（3）求面AMC与面BMC所成二面角A-CM-B的大小。考场错解 第（2）问。PA底面ABCD，且DAB=90AD、AB、AP两两互相垂直，建立如图所示的坐标系，则A（0，
2、0，0），C（1，1，0），B（0，2，0），P（0，0，1），=（1，1，0），=（0，-2，1），cos=AC与PB所成的角为arccos(-).专家把脉 上述错解中有两个错误：（1）的坐标应用B的坐标减P的坐标，=（0，2，-1）；（2）异面直线所成角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围不正确，公式记忆不准确，实际上异面直线所成的角的范围为（0，90），而arccos(-)为钝角，cos=对症下药 （1）PA底面ABCD，PACD，又CDAD，CD平面PAD，又CD 平面PCD，平面图PAD平面PCD。（2）PA底面ABCD，PACD，PAAB，又ADAB，可以建立
3、如图所示空间坐标系，则由已知A（0，0，0）、C（1，1，0）、B（0，2，0）、P（0，0，1）=（1，1，0），=（0，2，-1），设与PB成角为，则cos=,AC与PB所成的角为arccos.(3) M为PB的中点，M（0，1，），=（0，1，），=（1，1，0）设n1=(x,y,z)为平面AMC的法向量，则n1,n1,y=z=0,x+y=0,令x=1,得y=-1,z=2, n1=(1,-1,2)为平面AMC的一个法向量，同理可求得n2=(1,1,2)为平面BMC的一个法向量，n1、n2的夹角为arccos,而从图中可看出A-MC-B为钝角，二面角A-CM-B的大小为。2（典型例题）如图
4、11-2，在直四棱术ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，ADDC，ACBD，垂足为E。（1）求证BDA1C；（2）求二面角A1-BD-C1的大小；（3）求异面直线AD与BC1所成角的大小。考场错解第（3）问，由已知AD、DC、DD1两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A（2，0，0）、D（0，0，0）、B（2，2，0）C1（0，2，）（-2，0，0）=（-2，0，）。cos=AD与BC1所成的角为arccos.专家把脉 B点坐标计算错误,其实质是位置关系未分析清楚,错误地认为ABAD,BCCD,本题还会出现以BD为x轴,DC为y轴,DD1为z轴的建立坐标系
5、的错误.对症下药 (1) ABCDA1B1C1D1为直四棱柱。AA1底面ABCD，A1C在底面ABCD上的射影为AC，又由已知AC依三垂线定理可得BDA1C。（2）如图，以D为坐标原点，DA、DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系。连接A1E1、C1E1、AG1。与（1）同理可证，BDA1E1，BDC1E1，A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角。由A1（2，0）、C1（0，2，）、E（），得即EA1EC1。二面角A1-BD-C1的大小为90。（3）在平面ABCD中，过A作BFAD，交DA的延长线于F，由AD=2，CD=2，得AC=4，DAE=60，AE=1，在RtAEB
6、中，AB=2，AE=1，BAE=60，在RtAFB中AB=2，BAF=60，BF=，AF=1，DF=2+1=3，B的坐标为（3，0）由D（0，0，0）、A（2，0，0）、C1（0，2，）、B（3，0），得cos（、）=，异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos。本题还可以E为坐标原点，EB、EC分别为x轴和y轴，则z轴与AA1平行，E（0，0，0）、A1（0，-1，）、C1（0，3，）B（，）0，0）、D（-，0，0）、A（0，-1，0），其中A1、D、A的坐标容易求错。专家会诊利用空间向量求异面直线所成的角，公式为cos关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的坐标，建立坐标会出现用三条
7、两两不垂直的直线作x轴、y轴、z轴的错误，还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作x轴、y轴、z轴的错误。写点的坐标也容易出现错误，学习时要掌握一些特殊点坐标的特点，如x轴上的点坐标为（a，0，0），xoz面上的点坐标为（a,0,b）等，其次还应学会把某个平面单独分化出来，利用平面几何的知识求解，如本节的例2，求B的坐标。考场思维训练1已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2a,高为b，求异面直线AC1和A1B所成的角。答案：如图：ABC-A1B1C1为正三棱柱，AA1平面空间直角坐标系.则A（0，0，0）、A1（0，0，b）、B（a,a,0）、C1（2a,0,b）, cos=A
8、C1与A1B所成的角为arc cosAC1与A1Ba所成的角为-arc cos.2如图11-4，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D，BD的中点，G在CD上，且CG=CD，H为C1G的中点。（1）求证：EFB1C；答案：建立如图所示的空间直角坐标系，由已知有E（0，0，）、F（，0）、C（0，1，0）、B1（1，1，1）、G（0，0）（1）EFB1C.（2）求EF与C1G所成角的余弦；答案：(0,0)-(0,1,1)=(0,-,-1),cos=（3）求FH的长。答案：由中点坐标公式，得H的坐标为（0，）又F（，0）, (-,),FH=3如图11-5 四棱锥PABCD
9、的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，BC=2。（1）求证：平面PAD平面PCD；答案：由已知PA平面ABCD，又ABCD为矩形，CDAD, CD平面PAD，面PAD面PCD.（2）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；答案： A(0,0,0)、P（0，0，1）、D（0，2，0），E为PD中点，E(0,1, )、C（1，2，0），AE与PC所成角的余弦值为（3）在BC边上是否存在一点G，使得D点在平面PAG的距离为1，如果存在，求出BG的值；如果不存在，请说明理由。答案：假设BC边上存在一点G满足D到PAG的距离为1，设G（1，y ,0）,则=（0,0,1）=
10、(1,y,0),设n=(a、b、c)为平面PAG的一个法向量，由n,得c=0,由n，得a+by=0,令a=1,得b=-,n=(1, -,0)为平面PAG的一个法向量，d=,解得y=,BC上存在一点G，BG=，使得D到平面PAG的距离为1.命题角度 2求直线与平面所成的角1（典型例题）如图在三棱锥PABC中，ABBC，AB=BC=KPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC。（1）当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；（2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心？考场错解（1）POOC，POOB，又AB=BC，O为AC的中点，BOOC，以O为坐标原点，OB、OC
11、、OP所在直线x、y、z轴建立穿间直角坐标系，则O（0，0，0）、C（0，a,0）其中设AC=2a，A（0，-a,0）P(0,0,)、B（a,0,0）=(0,-a,-a),= (a,0,-a)=(0,a,-a),设n=（x,y,z）为平面PBC的一个法向量，由n,得ax-az=0,由n,得ay-az=0,令x=1,得z=,y=1, n=(1,1, )为平面PBC的一个法向量，设PA与平面PBC所成的角为，则cos=.专家把脉 公式记忆错误,其实质是未能把直线与平面所成的角与向量的夹角联系上, 应为直线与平面所成角的正弦值.对症下药(1)由错解和错因知,设PA与平面PBC所成的角为,则cos=,
12、=arcsin.PA与平面PBC所成的角为arcsin.(2)设 P(0,0,b),则=(a,0,-b),=(0,a,-b),设G为PBC的重心,则由穗主坐标公式得G(),由已知OG平面PBC, ,得a=b,即PO=a，在RtPOA中，PA=a,又AB=a, R=1, 当k=1时O在平面PBC内的射影为PBC的重心。2（典型例题）如图11-7，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。（1）求证EF平面PAB；（2）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小。考场错解 第（2）问，由已知PDCD，PDAD，CDAD，建立如图所示的空
13、间直角坐标系，设BC=a，则AB=a，可得D（0，0，0）、C（a，0，0）、A（0，a,0）、B（a, a,0），以后算出的坐标，平面AEF的一个法向量的坐标，利用公式sin=得出结果。专家把脉 B的坐标写错，由于本题中所建坐标系与通常所建坐标系在直观上有所不同，其实质还是求点的坐标不熟练所致。对症下药 （1）连接PE、BE、CF、FD。在RtPED中，PE=，在RtBCE中，BE=又由已知AD=BC=PD，CD=ED，PE=BE，又F为PB中点，EFPB ，又在RtPBC中，CF=PB，在RtPDB中，DF=PB，CF=DF，EFCD，又ABCD，EFAB，EF平面PAB；（2）由已知PD
14、CD，PDAD，又ADCD，所以建立如图11-8所示的空间直角坐标系，设BC=a，则AB=BC=a，得D（0，0，0）、C（a,0,0）、A（0，a,0）B（a,a,0）、P（0，0，a），由中点坐标公式得E（），F（）设n=（x,y,z）为平面AEF的一个法向量，由n，得为平面AEF的一个法向量，设AC与平面AEF所成的角为，则sin=AC与平面AEF所成的角为arcsin.专家会诊求直线与平面所成角的公式为：sin=,其中a为直线上某线段所确定的一个向量，n为平面的一个法向量，这个公式很容易记错，关键是理解，有些学生从数形结合来看，认为n应过直线上某个点，如例4中n应过C点，这是错误的，这
15、里n是平面的任意一个法向量，再说一个向量过某一个具体的点这种说法也是错误的。考场思维训练1 如图11-9，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90AC=2，BC=6，D为A1B1的中点，异面直线CD与A1B垂直。（1）求直三棱术ABC-A1B1C1的高；答案：以CA、CB、CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则由已知有A1（2,0,x）、B（0，6，0）、D（1，3，x），C（0，0，0），其中x为直三棱柱，（1，3，x）,又A1BCD，=0，得（-2）1+63-x2=0,解得x=4或x=-4(舍去)直三棱柱的高为4.（2）求直线A1B与平面CC1A1C所成的角。答案：由(1)知=(-2，6，-4)，又BC
