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1、第四章动能和势能思考题4.1起重机起升重物。问在加速上升，匀速上升，减速上升，以及加速下降，匀速下降， 减速下降六种情况下合力之功的正负。又：在加速上升和匀速上升了距离h这两种情况中，起重机吊钩对重物的拉力所作的功是否 一样多？答：1）加速上升：合力做正功，合力与速度方向相同；2）匀速上升：合力为零，做功也为零；3）减速上升：合力做负功，合力与速度方向相反；4）加速下降：合力做正功，合力与速度方向相同；5）匀速下降：合力为零，做功也为零；6）减速下降：合力做负功，合力与速度方向相反；又：不一样多，因为两种情况的拉力不一样。4.2弹簧A和B,劲度系数匕 , （1）将弹簧拉长同样的距离（2）拉长两
2、个弹簧到某 个长度时，所用的力相同。在这两种情况下拉伸弹簧的过程中，对那个弹簧作的功更多？ 答：1）对弹簧A做功更多。由于位移相同，kA大，则用力大；2）力相同，劲度系数越大，位移越小，对弹簧B做功更多。4.3 “弹簧拉伸或压缩时，弹性势能总是正的。”这一论断是否正确？如果不正确，在什 么情况下，弹性势能会是负的。答：不正确。如果选弹簧伸长量或压缩量最大时弹性势能为0则会使弹性势能为负。4.4 一同学问：二质点相距很远，引力很小，但引力势能大；反之，相距很近，引力势 能反而小。想不通”。你能否给他解决这个疑难？答：两质点由相距很远到相距很近，引力作正功，引力势能减少。45人从静止开始步行，如鞋
3、底不再地面上打滑，作用于鞋底的摩擦力是否作了功？人 体的动能是从哪里来的？分析这个问题用质点系动能定理还是用能量守恒定律分析较为方 便？答：做功。摩擦力做功等于动能的增量。能量守恒定律。46对静摩擦力所做功的代数和是否总是负的？正的？为零？答：不是。4.7力的功是否与参考系有关？ 一对作用力和反作用力所做功的代数和是否和参考系有 关？答：力的功与参考系有关，一对作用力和反作用力所做功的代数和参考系无关。4.8取弹簧自由伸展时为弹性势能零点，画出势能曲线。再以弹簧拉伸（或压缩）到某一 程度时为势能零点，画出势能曲线。根据不同势能零点可画出若干条势能曲线。对重力势能 和万有引力势能也可如此作。研究
4、一下.习题4.2.2本题图表示测定运动体能的装置，绳拴在腰间沿水平展开跨过理想滑轮，下悬重物 50kg，人用力向后蹬传送带而人的质心相对于地面不动，设传送带上侧以2m/s的速率向后运 动,问运动员对传送带做功否?功率如何？解：运动员对传送带做功：P = FV=50x10x2 W=1000W4.2.3 一非线性拉伸弹簧的弹力的大小为f二kl + k 13.1表示弹簧的伸长量,k为1 2 1正.（1）研究当k 0, k vo和k =0时弹簧的劲度有何不同；（2）求出弹簧由l拉长至l时解：f = k l + k 131 22 2 2 1 2 弹簧对外界所作的功.k + 3k l2， k0 dl 12
5、1f = k + 3k 12,1 2k 0,df = 6k 1 0,k随1的增大而增大，2 dl 2k 0,df = 6k 1 0,k随1的增大而增大2 dl 2k = 0,= k k与1无关2 d11A =2(k1 + k 13)d1 = -k (1 2 - 1 2)+ 1 k (1 4 - 1 4)/ 122 1 2 1 4 2 2 1114.2.L轻细线系一小球，小球在光滑水平桌面上沿螺旋线运动，绳穿过桌中心光滑圆孔, 用力向下拉绳.证明力对线做的功等线作用于小球的拉所做的功.线不可伸长.则线绳作用于小球的拉力对证明：设绳作用于小球的拉力为T,用dr表示小球的元位移, 小球作的元功为：d
6、A = T - dr dr = d r + d r 2 - -dA = T - d r + T - d r = T - dr1 2 1A = J T - dr = J T - dr = J Tdrss1sF = TdA = F - d1 = Fd1 = T - dr4.2.5 一辆卡车能够沿着斜坡以15kg/h的速率向上行驶， 斜坡与水平面夹角的正切tg a =0.02，所受阻力等于卡车重 量的0.04，如果卡车以同样的功率匀速下坡，卡车的速率是多少？ 解：以卡车为研究对象。建立OX坐标轴，平行于斜面，方向沿斜面向上。上坡时 F 一 f 一 mg sin a = 0 F = f + mg si
7、n a = 0.04 + mg sim sin a = tga = 0.02上坡的功率：P = F - v = (0.04mg + mg sin a ) - v = 0.06mgv下坡时，F + f mg sin a = 0，F = f 一 mg sin a = 0.04mg 一 0.02mg = 0.02mg0.06mg x 15p = Fv ， v = 12.5m / s0.02mg4.3.1 质量为m=0.5kg的木块可在水平光滑直杆上滑动。木块与以不可伸长的轻绳相 连.绳跨过一固定的光滑小环.绳端作用着大小不边的力T=50N.木块在点A时具有向右的 速率v =6m/s.求力T将木块自A
8、点拉至B时的速度.0解：研究对象木块_受力分析：W,N,T,只有T做功dA = T dr （可将力向位移上投影,A = JB T dr = J4 T cos a dxA0也可将位移向力上投影)dx(4 x)2 + 32=100 J1 1人由动能定理:mv 2 一 mv 2 = A2 b 20厂_2*100 “ c /v = -v 2 + A = .62 += 20.9m/ sB 0 m0.54.3.2质量为1.2kg的木块套在光滑铅直杆上.不可伸长的轻绳跨过固定的光滑小环, 孔的直径远小于它到杆的距离.绳端作用于恒力F, F=60N.木块在A处有向上的速度 v =2m/s,求木块被拉至B时的速
9、度.0解：以A为原点建O-y坐标系A = J B(T + W) - dr = f0.5 (T cos0 mg) dyA00.5 ycos0 =, T = 60 N, m = 1.2kg斗(0.5 y )2 + 0.52v = 2m / sA1 1mv 2 一 mv 2 = A n v = 3.86m/s2B 2AB4.3.3质量为m的物体与轻弹簧相连，最初，m处于使弹簧既未压缩也为伸长的位置，并以速度v向右运动.弹簧的劲度系数为k,物体与支承面之间的0滑动摩擦系数为“.求证物体能达到的最远距离l为l = Rmg k1 kv 21 +0 一1胃 卩2mg 2 丿 cA + A = AE = 0
10、12k1mv 22 o证明：由动能定理1ID4. 3. 3题图弹性力做功：A =Jl(kx)dx = -kl2 0 2阻力做功：A =Jl(Rmg)dx = pmgl2011kl 2 卩 mgl = 一一 mv 2220/=mg1 +一k卩 2 mg4.3.4圆柱形容器内装有气体容器内壁光滑。质量为m的活塞将气体密封。气体膨胀前后 的体积各为v 1和v ,膨胀前的压强为p .活塞初速度为v .（1）求气体膨胀后活塞的末速1 2 1 0率，已知气体膨胀是气体的体积和压强满足pv二恒量。（2）若气体的体积和压强满足PV 丫= 恒量.，活塞的末速率又如何？（本题用积分）f 11解：1）气体膨胀后对外
11、做功：A = J v2 pdv = AE = - mv2 一 mv 2k 22 0pv = c（常数），贝Up =代入上式，V11即 p V ln - = mv 2 一 mv 21 1 V- o1 则,v =y普1nV_1厶+ v 2V 2 012）若气体的体积和压强满足PV 丫=恒量人3TZ1 V11即 A = J 2 pdv = p V 迪 ln - = mv 2 一 mv 2vi1 1 V 2201：2pV丫 . V_1Y ln - + v 21 m V 2 0丨 14.3.5 O坐标系与O坐标系各对应轴平行，O相对于O沿x轴以v作匀速直线运动，对o1 1V 1和 V2沿X轴，根据伽利略
12、变换证明湘于O系，质点动能定理为FAx = - mv22 一 mv12对于O系动能定理也取这种形式.证明：两个惯性系：o-xyz, 0 -x y z 伽利略变换：由o系到o系的变换：X = X 一 uty = yAx = x(t ) x(t )2 2=Ax x + uAt=lx(t ) + ut=L r(t ) Xx(t )+ U(t t )- - - - - 2 1速度变换：v = v UXX加速度变换：a = aXX作用力不因参考系而改变：F = F12 mv 22 2 1丄,丄,1,1,=m(v + u )2 m(v + u )2 FuAt = mv2 mv2 + mu (v v) Fu
13、At 1222121FuAt1F Ax x = F ( Ax uAt) = FAx FuAt = mv22 F = ma由Xv v = a At21x.1.1.贝y： FAx = mv 2 mv 2具有形式不变性。2 2 2 14.3.6带电量为e的粒子在均匀磁场中的偏转A表示发射带电粒子的离子源，发射出的粒 子在加速管道B中加速，得到一定速率后于C处在磁场洛伦兹力作用下偏转，然后进入漂移管 道D,若离子质量不同或电量不同或速率不同，在一定磁场中偏转的程度也不同，在本题装置 中，管道C中心轴线偏转的半径只有一定质量的离子能自漂移管道D中引出，这种装置能将特 定的粒子引出，称为“质量分析器”,各
14、种正离子自离子源A引出后，在加速管中受到电压为U的电场加速,设偏转磁感应强度为B,偏转半径为R,求证在D管中得到的离子的质量为B 2 qR 2m =2U1qU 二一mv22解：由厂mv 2Bqv =RB 2 qR 2则：m =4.3.7轻且不可伸长的线悬挂质量为500g的圆柱体,圆柱体又套在可沿水平方向移动的 框架内,框架槽沿铅直方向,框架质量为200g,自悬线静止于铅直位置开始，框架在水平力 F=20.0N作用下移至图中位置，求圆柱体的速度，线长20cm，不计摩擦.解：利用质点系动能定理研究对象圆柱体和框架受力分析：W，F，T坐标系：o-x设圆柱体速度为v1，框架速度为v2贝y. v = v + v1 12 2在x轴上投影：v = 0 + v1x2 x即 v cos 30。= v1 21 1动能增量：AE = ( m v 2 + m v 2) -0k 21 122 2A= Fl sin 30。一 mgl (1 - cos 30。)合外力的功：贝 y A = AEk4.4.1二仅可压
