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1、高中数学探究群562298495全国高中高考资料联盟总群694430666椭圆综合讲义(十种典型)目录题型一 给出一定条件求椭圆方程2题型二 以椭圆方程为背景研究椭圆的简单性质8题型三 与离心率有关的椭圆问题11题型四 与直线与椭圆的位置关系有关的简单问题19题型五 与椭圆有关的最值(范围)问题21题型六、面积问题27题型七、中点问题30题型八、定点问题35题型九：定值问题37题型十：探索性问题39题型一 给出一定条件求椭圆方程 【方法导引】1.定义法：根据椭圆的定义，确出椭圆方程；2.待定系数法：特殊的，椭圆的一般方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，再用待定系数法求出m，n的值即可.3
2、.代点法。1.已知ABC的周长为20，且顶点B （0，4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A（x0） B（x0）C（x0） D（x0）【解答】ABC的周长为20，顶点B （0，4），C （0，4），BC8，AB+AC20812，128点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，a6，c4b220，椭圆的方程是故选：B2.椭圆以坐标轴为对称轴，经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为（）A BC或 D或【解答】根据题意，要求椭圆经过点（3，0），且长轴长是短轴长的2倍，分2种情况讨论：，椭圆的焦点在x轴上，则a3，b，此时椭圆的方程为+1，椭圆的焦点在y轴上
3、，则b3，则a6，此时椭圆的方程为+1；故椭圆的方程为+1或+1；故选：C3.如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足|OP|OF|且|PF|4，则椭圆C的标准方程为 【解答】由题可知，c，过点P作PM垂直x轴于M，设|OM|t，则|FM|t，由勾股定理知，|PM|2|OP|2|OM|2|PF|2|FM|2，即，解得，点P的坐标为（，），设椭圆的方程为（ab0），则，化简得，又a2b2+c2b2+20，a236，b216，椭圆的标准方程为故答案为：4. 经过两点A（0，2）、B（，）的椭圆的标准方程为 【解答】由题意，设椭圆的方程为+1，则，解得椭圆的标准方程为
4、x2+1故答案为：x2+15.【2019年高考全国卷理数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点若，则C的方程为（ ）ABCD【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B【素养提升】1.过点（，），且与椭圆+1有相同的焦点的椭圆的标准方程 解：椭圆+1的焦点为（0，4），则所求椭圆的c4，可设椭圆方程为1（ab0），则有a2b216，再代入点（，），得，1，由解得，a220，b24则所求椭圆方程
5、为1故答案为：12.已知椭圆C的焦点为F1（1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|3|BF2|，|BF1|5|BF2|，则椭圆C的方程为（）ABCD解：|BF1|5|BF2|，且|BF1|+|BF2|2a，|BF2|，|BF1|，|AF2|3|BF2|，|AF2|a，|AF1|+|AF2|2a，|AF1|a，|AF1|AF2|，则A在y轴上在RtAF2O中，cosAF2O，在BF1F2中，由余弦定理可得cosBF2F1，根据cosAF2O+cosBF2F10，可得，解得a22，b2a2c21椭圆C的方程为：故选：A3.若直线x2y+20经过椭圆的一个焦点和一个顶点
6、，则该椭圆的标准方程为（）A+y21 B+1C+y21或+1 D以上答案都不对【解答】设焦点在x轴上，椭圆的标准方程为焦点坐标为（c，0），（c，0），顶点坐标为（0，b），（0，b）；椭圆的a，b，c关系：；a2b2c2直线x2y+20恒过定点（0，1）直线x2y+20必经过椭圆的焦点（c，0），和顶点（0，b）带入直线方程：解得：c2，b1，a焦点在x轴上，椭圆的标准方程为；当设焦点在y轴，椭圆的标准方程为焦点坐标为（0，c），（0，c），顶点坐标为（b，0），（b，0）；椭圆的a，b，c关系：a2b2c2直线x2y+20恒过定点（0，1）直线x2y+20必经过椭圆的焦点（0，c），和顶点
7、（b，0）带入直线方程解得：c1，b2，a焦点在y轴上，椭圆的标准方程为故选：C题型二 以椭圆方程为背景研究椭圆的简单性质【方法导引】解决此类问题要明确椭圆的方程中各量的意义，遇到焦点三角形问题，要充分利用椭圆的定义、正余弦定理去解题.1.直线ykx+k与焦点在y轴上的椭圆+1总有两个公共点，则实数m的取值范围是 【解答】直线ykx+k恒过（1，0），直线ykx+k与焦点在y轴上的椭圆+1总有两个公共点，可得：解得m（1，4）故答案为：（1，4）2.【2019年高考全国卷理数】若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=（ ）A2 B3 C4 D8【答案】D【解析】因为抛物线的焦
8、点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D3.【2019年高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_【答案】【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，由中位线定理可得，设，可得，与方程联立，可解得（舍），又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，由中位线定理可得，即，从而可求得，所以.【素养提升】【2019年高考全国卷理数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为_.【答案】【解析】由已知可得，设点的坐标为，则，又，解得，解得（舍去），的坐标为
9、题型三 与离心率有关的椭圆问题【方法导引】求椭圆离心率的值(范围)，其方法为， (1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e求解(2)方程法：根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2a2c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)1.从圆锥曲线本身所具有的不等关系入手（1）焦半径的取值范围为.1.椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在一点P，满足线段的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率的取值范围是_.【解析】题目中给出了中垂线，所以要用到中垂线
10、的性质，让求的范围我们需要构造一个不等关系，且在有动态变量的题目中，需要把定值和变量进行比较，很显然为定值，是焦半径为变量，因此，所以得出不等关系解得2.已知椭圆的左右焦点分别是，若椭圆上存在点P，使，求该椭圆离心率的取值范围_.【解析】题目中出现了，很容易想到分式里面跟角度有关的正弦定理，所以变形一下得因为，所以注意为焦半径，因此所以不等关系就能找出来了，解不等式可得（2）焦点三角形顶角的取值范围：当P点处于B位置时，顶角最大，例 （3）焦点三角形面积的取值范围：当点P处于B位置时，焦点三角形面积最大，例：4.过椭圆中心的直线与椭圆交于两点，右焦点为，则的最大面积为_.【方法导引】在椭圆内的
11、所有焦点三角形，当顶点P与短轴重合时，此时面积最大【解析】注意，凡是经过原点的直线与椭圆或双曲线相交于两点时，这两点的位置是对称的，本题目中和是全等的，因此故当点A位于短轴的交点处时，面积最大（4）焦点弦长的取值范围：（通径最短），2.从直线和圆锥曲线的位置关系或点和圆锥曲线的位置关系入手（1）点和圆锥曲线的位置关系若能用表示出某点的坐标，则根据点在椭圆内/外，将点代入椭圆内就有相应的不等关系，而这个点一般是特殊位置点，如三心、中垂线上的点等。例：5.已知椭圆短轴顶点，若椭圆内接三角形的重心是椭圆的一个焦点，求椭圆离心率的取值范围_.【解析】设，已知点根据重心公式可知所以根据重心性质可知在线段
12、上的中点的坐标为，因为是动点，但是点E肯定在椭圆内部，因此，化简整理得（2）直线和圆锥曲线位置关系。在开放式问题中如果问存在不存在或者求直线方程时求出多个斜率，则必定要对所求的值进行验证，若在离心率的取值范围问题中使用位置关系的判定方法，例如判别式法只能求出某个参数的取值范围，求离心率的取值范围其实是将离心率转化为关于所求出参数的函数的取值范围，(3)最难的几何法，通过方法导引题目中的几何条件得出不等关系，例如三角形两边之和大于第三边，例如出现的钝角锐角或者出现的三角形的形状，中垂线等，这也是求离心率取值范围中最难的一种，考察队几何图形和已知条件的关联性。6.设椭圆的左右焦点分别是，焦距为，点
13、在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是_.【解答】解：点Qc,a2在椭圆内，则022因为 PF1=2a-PF2所以PF1+PQ5F2F1则PQ-PF210c-2a 恒成立当P,Q, F2三点共线时，取最大值为QF2=a2所以a214综上，14,22【小试牛刀】1.已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，点M在C外，3，经过M的直线l与C的一个交点为N，MNF是有一个内角为120的等腰三角形，则C的离心率为（）ABC1D【解答】解：不妨设F（c，0），则M（3c，0），易知MNF中只能MNF120，MNF是有一个内角为120的等腰三角形，则N（c，c），将N代入椭圆方程得到，即，解得或e23（舍去），故e，故选：B2.已知椭圆C：（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，线段MF2的延长线交椭圆C于点N，若|MF1|，|MN|，|NF1|成等差数列，则椭圆C的离心率
