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1、第四章 矩阵分解 把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要的因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映出原矩阵的某些数值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，另一方面分解的方法与过程往往提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据本章将介绍几种常用的矩阵分解形式41 矩阵的三角分解 三角矩阵的计算，如求行列式、求逆矩阵、求解线性方程组等，都是很方便的，因此首先研究是否可将矩阵分解成一些三角矩阵的乘积 一、三角分解及其存在惟一性问题 定义4.1 设，如果存在下三角矩阵和上三角矩阵，使得A=LR则称A可以作三角分解 关于三角分解的存在性有如
2、下一些结论 定理4.1 设，则A可以作三角分解的充分必要条件是(k=1，2，n1)，其中为A的k阶顺序主子式，而为A的k阶顺序主子阵。 证 必要性已知A可以作三角分解，即ALR，其中L，将A，L和R进行分块，得 这里，和分别是A，L和R的k阶顺序主子阵，且和分别是上三角矩阵和下三角矩阵由矩阵的分块乘法运算，得由于所以 充分性对阶数n用归纳法证明当n=1时，结论成立设对n=k结论成立，即，其中和分别是上三角矩阵和下三角矩阵，且由知，与均可逆则当n=k+1时，有其中，故由归纳假设知A可以作三角分解证毕 这个定理说明，并不是每个可逆矩阵都可以作三角分解如矩阵就不能作三解分解 定理4.2 设，且A的前
3、r个顺序主子式不为零，即(k=1，2，r)，见A可以作三角分解 证 由定理4.1知，可以作三角分解，即，且和分别是可逆的上三角矩阵和下三角矩阵将矩阵A分块为由于rankA=r，所以A的后nr行可由前r行线性表示，即存在矩阵，使得，从而即得到A的一种三角分解证毕 该定理的条件仅是充分的如矩阵的秩为1，不满足定理的条件，但等，都是A的三角分解 需要指出的是，即使一个方阵的三角分解存在，它也不是惟一的这是因为如果A=LR是A的一个三角分解，令D是对角元素都不为零的对角矩阵，则A(LD)，其中，也分别是下三角矩阵和上三角矩阵，即又得到了A的另一个三角分解为讨论惟一性问题，需规范化三角分解 定义4.2
4、设如果A可分解成ALR，其中L是对角元素为1的下三角矩阵(称为单位下三角矩阵)，R是上三角矩阵，则称之为A的Doolittle分解；如果A可分解为A=LR，其中L是下三角矩阵，R是对角元素为1的上三角矩阵(称为单位上三角矩阵)，则称之为A的Crout分解；如果A可分解为A=LDR，其中L是单位下三角矩阵，D是对角矩阵，R是单位上三角矩阵，则称之为A的LDR分解 定理4.3 设，则A有惟一LDR分解的充分必要条件是0(k=1，2，n1)此时对角矩阵D=diag(，)的元素满足 证 由定理4.1，A可作三角分解A=LR的充分必要条件是0(k=1，2，n1)记，由L和R可逆知与也可逆，从而这是A的L
5、DR分解 再证惟一性设A有两个LDR分解 于是 上式左边是单位下三角矩阵，右边是上三角矩阵，所以都应该是单位矩阵，即有 从而 又由是单位上三角矩阵知，故 故A的LDR分解是惟一的 将A，L，D，R进行分块，得其中，分别是A，L，D，R的k阶顺序主子阵则有 (k=1,2,n)根据得 (k=2,3,n)证毕 推论 设则A有惟一Doolittle分解或Crout分解的充分必要条件是0(k=1，2，n1) 上述定理4.3的结论可以适当放宽，即当(不要求A可逆)时，A有惟一LDR分解的充分必要条件是0(k=1，2，n1)证明略去 二、三角分解的紧凑计算格式 现在阐述直接计算三角分解的方法，以下总假设，且
6、A可以作三角分解，即A的所有顺序主子式不为零 由A的Doolittle分解A=LR，得于是由上式可导出求A的Doolittle分解的紧凑计算格式为 具体计算时，可按下图所示一框一框地逐步进行对同一框中的元素，必须在计算之前先算出，其余元素的计算先后没有影响由算法公式可知，在计算出或后，就不再使用了，因此算出的或就可以放在A的相应元素的位置上图4.1与上面的推导类似，可以得到Crout分解的紧凑计算格式：例4.1 求矩阵A的Doolittle分解和Crout分解解 由Doolittle分解的紧凑计算格式得，故A的Doolittle分解为而由Crout分解的紧凑计算格式得 考虑Hermite正定矩
7、阵的三角分解，有如下的结果 定理4.4 设是Hermite正定矩阵，则存在下三角矩阵，使得称之为A的Cholesky分解 证 由定理1.27知0(k=1，2，n)，故A有惟一的LDR分解A=LDR根据和LDR分解的惟一性得，即又由定理4.3知，对角矩阵D=diag(，)的对角元素0(i=1，2，n)，于是 A=Ldiag(，)diag(，)令G=Ldiag(，)则G是下三角矩阵，且证毕设，则由(只比较下三角部分的元素)得从而得到求Hermite正定矩阵A的Cholesky分解的紧凑计算格式：例4.2 已知矩阵A=，求A的Cholesky分解解 容易验证A是实对称正定矩阵由Cholesky分解的
8、紧凑计算格式得 故A的Cholesky分解为 如果线性方程组Ax=b的系数矩阵，且0(k=1，2，n1)，则A可作三角分解A=LR于是便得与Ax=b同解的、具有以三角矩阵为系数矩阵的两个线性方程组Ly=b， Rx=y由第一个方程组递推求得y，再代入第二个方程组通过回代解出x 例4.3 求解线性方程组Ax=b，其中解 例4.1已求得由Ly=b递推求得而由Rx=y通过回代求得4.2 矩阵的QR分解 矩阵的QR分解在解决最小二乘问题、特征值计算等方面，都是十分重要的本节首先介绍Householder矩阵和Givens矩阵，这也是在求矩阵的QR分解时用到的主要工具 一、Householder矩阵与Gi
9、vens矩阵 定义4.3 设是单位向量，即，称为Householder矩阵或初等反射矩阵由Householder矩阵H确定的上的线性变换y=Hx称为Householder变换或初等反射变换 Householder矩阵具有下列性质 定理4.5 设是Householder矩阵，则 (1)(Hermite矩阵)； (2)(酉矩阵)； (3)(对合矩阵)； (4)(自逆矩阵)； (5)是n+r阶Householder矩阵； (6)detH=1 证 只证(5)和(6)由于H是Householder矩阵，所以存在，且，使得从而 其中，由于故是n+r阶Householder矩阵因为取行列式即得证毕 Hous
10、eholde矩阵的应用主要基于下述结果 定理4.6 设是单位向量，则对任意，存在Householder矩阵H，使得Hx=z，其中，且为实数 证 当x=0时，任取单位向量u，则当x=z0时，取单位向量u满足，则有当xz时，取 (4.1)则有 (4.2)由于代入式(4.2)得证毕 推论1 对任意，存在Householder矩阵，使得，其中，且为实数 推论2 对任意，存在Householder矩阵 (且)使得，其中 以上两推论的结果称为用Householder变换化向量x与共线(或同方向) 例4.4 用Householder变换化下列向量与共线：（1）；（2）解 （1）取，计算于是，使得（2）由于，
11、为使且为实数，可取3i，于是使 读者可分别取3和3i计算之 以下在中说明将Householder矩阵称为初等反射矩阵的原因 考虑法向量为单位向量u且过原点O的平面(见图4.2)任取向量，将x分解为xv+w (v， w)图4.2从而故可见向量x经过Householder变换后，变成了以u为法向量的平面的对称向量，也即关于平面的反射向量 在平面解析几何中，任一向量x依顺时针方向旋转角度后变为向量y(见图4.3)，则显然x与y有相等的长度，且在给定的直角坐标系下，如果x的坐标为(，)，y的坐标为(，)，则它们满足称T为平面旋转矩阵显然它是正交矩阵，且detT=1推广到上，有图4.3 定义4.4 设c
12、，s，且满足，称n阶方阵 (4.3)为Givens矩阵或初等旋转矩阵由Givens矩阵确定的上的线性变换称为Givens变换或初等旋转变换 容易验证，当时，存在实数，使得，特别地，当c，s为实数且时，存在实数，使得c=cos，s=sin，此时可以解释为上由和构成的平面旋转矩阵 由定义可直接得到Givens矩阵的有关性质：Givens矩阵是酉矩阵，且 Givens矩阵的应用主要基于下述定理和推论 定理4.7 对任意义，存在Givens矩阵，使得的等q个分量为零，第p个分量为非负实数，其余分量不变 证 设，其中如式(4.3)，则有当时，取c=1，s=0则，此时，结论成立 当时，取， (4.4)则
13、推论 设则存在Givens矩阵，使得称之为用Givens变换化向量x与同方向 证 由定理4.7，存在Givens矩阵，使得对，又存在Givens矩阵，使得如此继续下去，最后得 证毕例4.5 用Givens变换化下列向量与同方向：(1)； (2)解 (1)取，则使得又取，则使得(2)取，则使得又取，则使得 二、矩阵的QR分解 定义4.5 设如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵R，使得A=QR (4.5)则称之为A的QR分解或酉-三角分解当时，称式(45)为A的正交-三角分解 定理4.8 任意都可以作QR分解 证法1 将矩阵A按列分块为，由定理46知，存在n阶Householder矩阵，使得，于是其中再将按列分块为，则存在n1阶Householder矩阵，使得，这里记则是n阶Houscholder矩阵，且有其中继续这一步骤，在第n1步得其中都是n阶Houscholder矩阵注意到
