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1、一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件 在上面第1楼的帖子中，证明了这样一个定理：第1楼帖子中定理 正整数 能表示成两个整数平方和的充分必要条件是： 的素因子分解式中，所有形为 的素因子的冪指数都是偶数。 注意，这个定理中说的是“整数平方和”，不是“正整数平方和”，所以，像 ， ， 这样的两整数平方和，都算是符合定理要求的。 如果我们希望把上面这种带 的整数平方和的例子排除在外，把定理中的“整数平方和”改为“正整数平方和”，那么，定理又会是怎么样的呢？ 为了证明这样的定理，下面先证明一个引理。引理 若有 ，其中 都是正整数， ，则必有正整数 ， ，而且 一奇一偶，使得 。证 不会都
2、是奇数，否则 是形为 的数，不可能等于 。又因为 ， 也不会都是偶数，所以 必定一奇一偶，不妨设 是奇数， 是偶数，这时 显然也是奇数，而且 ， 。因为 都是奇数， ，所以 ， 显然都是正整数。 这时有 。因为 是偶数，所以 是整数。又因为 ，所以 ，所以 中的任何一个素因子，或者全部在 中，或者全部在 中。由于 中的素因子的幂次都是偶数，所以 ， 中的素因子的幂次也都是偶数，可见 ， 都是完全平方数。 设 ， ，因为 ， 都是完全平方数，所以 都是正整数，而且有 ， 。假如 ，则 ， ， 就有公因子 ，与 矛盾，所以必有 。假如 都是奇数或 都是偶数，则 ， 显然都是偶数，与 矛盾，所以 必
3、定是一奇一偶。定理 正整数 能表示成两个正整数平方和的充分必要条件是要满足下列两条：（1） 的素因子分解式中，所有形为 的素因子的冪指数都是偶数。（2）如果 的素因子分解式中，不含有形为 的素因子，则必有 ，其中 是正整数。证 先证明充分性。 如果 中不含有形为 的素因子，则 ，显然这时 可以表示成两个正整数的平方和。 如果 中含有形为 的素因子，再加上已知 中形为 的素因子的幂指数都是偶数，只要仿照第1楼帖子中定理的推导过程，就可证明这时 能表示成两个正整数的平方和。 再证明必要性。 设已知 能表示成两个正整数的平方和，有 。由第1楼帖子中定理可知，这时 中所有形为 的素因子的冪指数都是偶数
4、。所以只要证明“如果 中不含有形为 的素因子，则必有 ”就可以了。因为 中不含有形为 的素因子，而所有形为 的素因子的冪指数都是偶数，所以， 只有两种可能：或者有 ，或者有 。下面用反证法证明：当 中不含有形为 的素因子时，不可能有 。 假设有 ，其中 都是正整数。设 ，将 都除以 ，则有 ， 。所以，下面只要考虑 的情形就可以了。 在满足 ， 都是正整数， 的解中，总可以找到 最小的一组解。显然 ，所以必有 。 因为 ， 都是正整数， ，所以根据上面的引理，可知必有正整数 ， ，而且 一奇一偶 ，使得 。 因为 一奇一偶，所以 是奇数，不含有因子2 。因为 中不含形为 的素因子，所以 中也不含形为 的素因子。又因为 可以表示为两个正整数的平方和，由第1楼帖子中定理可知，这时， 中形为 的素因子的冪指数都是偶数。由此可见， 是一个完全平方数，所以必有正整数 ，使得 。由于 ，所以 ，这就与“在满足 ， 的解中， 最小”发生矛盾。因此，假设 不能成立，这时只可能有 。2
