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1、数学专题3研究型问题【备考点睛】研究型问题最根本的特点在于它具有“获取新知识”的意义或意味，也即它不单纯是已学的课本知识的应用，而是包含有理解和掌握一个“新概念”或“新规定”、发现和总结一个“新规律”或“新结论”的成份及过程，它可以突出地考查我们的“学习能力”和“发现与创新”能力。从所依循的思考方向和思维方法来看，研究性问题可大体分为三类：1、通过引入的“新概念”或“新规定”及其应用，重在体现和考查“抽象概括”的能力”；2、通过设置由“特殊到一般”或“由一般到另一特殊”的活动情意，并从中归纳或类比总结出“新规律”，重在体现和考查“合情推理”的能力。3、通过对已知的普遍认识的基础上添加特殊条件或
2、限制，以获得更特殊更深入的新认识，重在体现和考查由特殊化使认识走向更深入。【经典例题】类型一、设置“新概念”或“新规定”情景的研究性问题例题 如图（1），菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”。在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等。（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形越接近于正方形。 若菱形的一个内角为70，则该菱形的“接近度”等于 ； 当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形。（2）设矩形相邻两条边长分别是和（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形。你认为这种说法是否合理？
3、若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义。解答：分析：对于（1），关键是准确地把握：菱形的“接近度”为，其中和是该菱形“相邻两内角的度数”。对于（2），首先要弄清：应保证相似图形的“接近度”相等，此乃是“接近度”的本质特征，接下来的问题就好解决了。详解：（1） 40。 。（2）不合理，例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等，合理定义方法不唯一，如定义为。越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形。说明：在本题，关键是要能把握“接近度”这一个新概念的本质特征。类型二、设置“发现新规律”的研究性问题例题 提出问题：如
4、图（1），在四边形中，P是AD边上任意一点，与和的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手。（1） 当时（如图（2）的高相等。 ，的高相等。 。（2）当时，探求与和之间的关系，写出求解过程；（3）当时， 探求与和之间的关系为： ；（4）一般地，当（表示正整数）时，探求与和之间的关系，写出求解过程；问题解决：当时，与和之间的关系式为： 。ABCDPABCDP（1） （2）解答：分析：对于（2），关键是将（1）的推理过程类比到时的情景，看其是否成立；对于（3）是将（1）、（2）的结论再类比到；对于（4）则是将推理过程和结论进行更为一般化的推广和归纳。详
5、解：（2），的高相等，。又的高相等，。 。（3）。（4）。，的高相等。 。又的高相等。 。问题解决：。说明：在本题，准确地使用“类比”和“归纳”是各小问题获解的关键。类型三、设置“特殊化”情景的研究性问题例题 抛物线，其顶点（可以位于坐标系内任意一点，请研究以下问题：（1）若其顶点为（1，1），则 ， ，若其顶点为（，则 ， ，（2）具有怎样的关系时，顶点在直线上？（3）抛物线上任意一点，都可以是抛物线的顶点吗？若可以，请指明应满足的关系，若不可以，请说明理由。解答：分析：根据各小题中对顶点的特殊要求，去寻求应满足的条件。详解：（1）（通过解方程可得）2；4，9。（2）若（在直线上，则。为任意
6、实数），即满足关系时，抛物线的顶点总在直线上。（3）可以。令，得为任意实数）。当和满足关系时，抛物线的顶点都在抛物线上。说明：由本题可以看出，特殊化方向的研究，可以使我们对原事物有更多方向和更深层次的认识。【技巧提炼】研究性问题的思考要点：1.把握准“新概念”和“新规定”的实质，或说根本特征，从而将其应用在所属的具体情景之中。所谓掌握一个“新概念”或“新规定”，是指能将它应用在具体的问题中和复合的问题中，这也正是抽象概括能力的基本表现形式。2.把握准“由特殊到一般”或“由特殊到特殊”的共同点或共同属性，借归纳或类比概括出带有一定“普遍性”的规律。归纳和类比是知识扩充与增长的极为重要的思维途径，
7、也是研究性问题展开的有效方式。准确地使用“类比”和“归纳”是各小问题获解的关键。因此，要深刻体会归纳与类比的思考要点，熟练而灵活地运用。3. 充分利用附加的特殊条件或对结论的特殊要求，把握特殊条件的特殊结论和相应的关系。特殊化方向的研究，可以使我们对原事物有更多方向和更深层次的认识。一个不真的命题加上若干限定条件之后，它就可能成为一个真命题，因此，“特殊化”方向的研究，可帮助我们获得更深入的知识。【体验中考】1.在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形式以点为旋转中心，逆时针旋
8、转一个角度过，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为（，），其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角。（1）填空： 如图（1），将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60，得到， 这个旋转相似变换记为A（ ， ）； 如图 （2），是边长为1的等边三角形，将它作旋转相似变换A（），得到，则线段长为 ；（2）如图（3），分别以锐角三角形的三边AB，BC，CA为边向外作正方形，点分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用，之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段之间的关系。ABCDEACDEBBCGFDEAHI（1） （2） （3）2. 实验与探究：（1）在图（1
9、），（2），（3）中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），写出图（1），（2），（3）中的顶点的坐标，它们分别是（5，2）， ， ；（）D（4，0）B（1，2）C （）D（）B（）C（1）（2）D（）B（）C D（）B（）C（3） （4）（2）在图（4）中，给出平行四边形的顶点的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标；（C点的坐标用含的代数式表示）；归纳与发现：（3）通过对图（1），（2），（3），（4）的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现；无论平行四边形处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为，如图（4）时，则四个顶点的横坐标之间的等量关系为 ；纵坐标之间的等量关系为 （不必证明）。运用与推
10、广：（4）在同一直角坐标系中有抛物线和三个点G，（其中。问当为何值时，该抛物线上存在点，使得为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的点的坐标。3. 如图（1），点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线。ACACBDACBDEFACBDFE（1） （2） （3） （4）（1）研究小组猜想：在中，若点D为AB边上黄金分割点（如图（2），则直线CD是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
11、（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D（D为AB的黄金分割点），作直线，交AC于点F，连结（如图（3），则直线也是黄金分割线，请你说明理由。（4）如图（4），点E是平行四边形的边AB的黄金分割点，过点E作，交于点F，显然直线是平行四边形的黄金分割线，请你画一条平行四边形的黄金分割线，使它不经过平行四边形各边的黄金分割点。4. 我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：当这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。 当这两个三角形均为
12、钝角三角形，可证它们全等（证明略）。 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：，均为锐角三角形，。求证：。（请你将下列证明过程补允完整）。证明：分别过点作于D，于，则，。（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确的结论，请你写出这个结论。ACBD5（2010湖南益阳）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等.一条直线l与方形环的边线有四个交点、小明在探究线段与 的数量关系时，从点、向对边作垂线段、，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题请你参考小明的思路解答下列问题：当直线l与方形环的对边相交时（如图1），
13、直线l分别交、于、，小明发现与相等，请你帮他说明理由；当直线l与方形环的邻边相交时（如图2），l分别交、于、，l与的夹角为，你认为与还相等吗？若 相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函数表示）. 6（2010山东青岛）问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.O我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个正六边形的内角问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角验证
