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1、53习题1111-1直角三角形的点上，有电荷，点上有电荷，试求点的电场强度(设，)。解：在C点产生的场强：，在C点产生的场强：，点的电场强度：；点的合场强：，方向如图：。11-2用细的塑料棒弯成半径为的圆环，两端间空隙为，电量为的正电荷均匀分布在棒上，求圆心处电场强度的大小和方向。解：棒长为，电荷线密度：可利用补偿法，若有一均匀带电闭合线圈，则圆心处的合场强为0，有一段空隙，则圆心处场强等于闭合线圈产生电场再减去长的带电棒在该点产生的场强，即所求问题转化为求缺口处带负电荷的塑料棒在点产生的场强。解法1：利用微元积分：，；解法2：直接利用点电荷场强公式：由于，该小段可看成点电荷：，则圆心处场强：
2、。方向由圆心指向缝隙处。11-3将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为，四分之一圆弧的半径为，试求圆心点的场强。解：以为坐标原点建立坐标，如图所示。对于半无限长导线在点的场强：有：对于半无限长导线在点的场强：有：对于圆弧在点的场强：有：总场强：，得：。或写成场强：，方向。11-4一个半径为的均匀带电半圆形环，均匀地带有电荷，电荷的线密度为，求环心处点的场强E。解：电荷元dq产生的场为：；根据对称性有：，则：，方向沿轴正向。即：。11-5带电细线弯成半径为的半圆形，电荷线密度为，式中为一常数，为半径与轴所成的夹角，如图所示试求环心处的电场强度。解：如图，考虑到对称性，有
3、：；，方向沿轴负向。11-6一半径为的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处的电场强度。解：如图，把球面分割成许多球面环带，环带宽为，所带电荷：。利用例11-3结论，有：，化简计算得：，。11-7图示一厚度为的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为。求板内、外的场强分布，并画出场强随坐标变化的图线，即图线(设原点在带电平板的中央平面上，轴垂直于平板)。解：在平板内作一个被平板的中间面垂直平分的闭合圆柱面为高斯面，当时，由和，有：；当时，由和，有：。图像见右。11-8在点电荷的电场中，取一半径为的圆形平面(如图所示)，平面到的距离为，试计算通过该平面的的通量.解：通过圆平面的电通量与通过与
4、为圆心、为半径、圆的平面为周界的球冠面的电通量相同。【先推导球冠的面积：如图，令球面的半径为，有，球冠面一条微元同心圆带面积为：球冠面的面积：】球面面积为：，通过闭合球面的电通量为：，由：，。11-9在半径为R的“无限长”直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为，求圆柱体内、外的场强分布，并作Er关系曲线。解：由高斯定律，考虑以圆柱体轴为中轴，半径为，长为的高斯面。（1）当时，有；（2）当时，则：；即：；图见右。11-10半径为和（）的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量和，试求：（1）；（2）；（3）处各点的场强。解：利用高斯定律：。（1）时，高斯面内不包括电荷，所以：；（2）时，利用高斯定律及
5、对称性，有：，则：；（3）时，利用高斯定律及对称性，有：，则：；即：。11-11一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷，若保持电荷分布不变,在该球体中挖去半径为的一个小球体，球心为，两球心间距离，如图所示。求：（1）在球形空腔内，球心处的电场强度；（2）在球体内P点处的电场强度，设、三点在同一直径上，且。解：利用补偿法，可将其看成是带有电荷体密度为的大球和带有电荷体密度为的小球的合成。（1）以为圆心，过点作一个半径为的高斯面，根据高斯定理有：，方向从指向；（2）过点以为圆心，作一个半径为的高斯面。根据高斯定理有：，方向从指向，过点以为圆心，作一个半径为的高斯面。根据高斯定理有：，方向从指向。1
6、1-12设真空中静电场的分布为，式中为常量，求空间电荷的分布。解：如图，考虑空间一封闭矩形外表面为高斯面，由：由高斯定理：，设空间电荷的密度为，有：，可见为常数。11-13如图所示，一锥顶角为的圆台，上下底面半径分别为和，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为，求顶点的电势(以无穷远处为电势零点)解：以顶点为原点，沿轴线方向竖直向下为轴，在侧面上取环面元，如图示，易知，环面圆半径为：，环面圆宽：，利用带电量为的圆环在垂直环轴线上处电势的表达式：，有：，考虑到圆台上底的坐标为：，。11-14电荷量Q均匀分布在半径为R的球体内，试求：离球心处（）P点的电势。解：利用高斯定律：可求电场的分布。（1）时，
7、；有：；（2）时，；有：；离球心处（）的电势：，即：。11-15图示为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表面半径为，外表面半径为设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。解：当时，因高斯面内不包围电荷，有：，当时，有：，当时，有：，以无穷远处为电势零点，有：。11-16电荷以相同的面密度s 分布在半径为和的两个同心球面上，设无限远处电势为零，球心处的电势为。（1）求电荷面密度；（2）若要使球心处的电势也为零，外球面上电荷面密度为多少？（） 解：（1）解一：当时，因高斯面内不包围电荷，有：，当时，利用高斯定理可求得：，当时，可求得：，那么：解二：由均匀带电球面在球心处的电势：，结合电势
8、叠加原理得：（2）设外球面上放电后电荷密度，则有：， 则应放掉电荷为：。11-17如图所示，半径为的均匀带电球面，带有电荷，沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为，长度为，细线左端离球心距离为。设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能（设无穷远处的电势为零）。解：（1）以点为坐标原点，有一均匀带电细线的方向为轴，均匀带电球面在球面外的场强分布为：（）。取细线上的微元：，有：，（为方向上的单位矢量）（2）均匀带电球面在球面外的电势分布为：（，为电势零点）。对细线上的微元，所具有的电势能为：，。11-18. 一电偶极子的电矩为，放在场强为的
9、匀强电场中，与之间夹角为，如图所示若将此偶极子绕通过其中心且垂直于、平面的轴转，外力需作功多少？解：由功的表示式：考虑到：，有：。11-19如图所示，一个半径为的均匀带电圆板，其电荷面密度为(0)今有一质量为，电荷为的粒子(0)沿圆板轴线(轴)方向向圆板运动，已知在距圆心（也是轴原点）为的位置上时，粒子的速度为，求粒子击中圆板时的速度(设圆板带电的均匀性始终不变)。解：均匀带电圆板在其垂直于面的轴线上处产生的电势为：，那么，由能量守恒定律，有：思考题1111-1两个点电荷分别带电和，相距，试问将第三个点电荷放在何处它所受合力为零?答：由，解得：，即离点电荷的距离为。11-2下列几个说法中哪一个
10、是正确的？（A）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向；（B）在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同；（C）场强方向可由定出，其中为试验电荷的电量，可正、可负，为试验电荷所受的电场力；（D）以上说法都不正确。答：（C）11-3真空中一半径为的的均匀带电球面,总电量为(0)，今在球面面上挖去非常小的一块面积(连同电荷)，且假设不影响原来的电荷分布，则挖去后球心处的电场强度大小和方向.答：题意可知：，利用补偿法，将挖去部分看成点电荷，有：，方向指向小面积元。11-4三个点电荷、和在一直线上，相距均为，以与的中心作一半径为的球面，为球面与直线的一个交点，如图。求
11、：(1)通过该球面的电通量；(2)点的场强。解：(1)；(2)。11-5有一边长为的正方形平面，在其中垂线上距中心点处，有一电荷为的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为多少？解：设想一下再加5个相同的正方形平面将围在正方体的中心，通过此正方体闭合外表面的通量为：，那么，通过该平面的电场强度通量为：。11-6对静电场高斯定理的理解，下列四种说法中哪一个是正确的？(A)如果通过高斯面的电通量不为零，则高斯面内必有净电荷；(B)如果通过高斯面的电通量为零，则高斯面内必无电荷；(C)如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度必处处为零；(D)如果高斯面上电场强度处处不为零，则高斯面内必有电荷。
12、答：(A)11-7由真空中静电场的高斯定理可知(A)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零；(B)闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定都不为零；(C)闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定都为零；(D)闭合面内无电荷时，闭合面上各点场强一定为零。答：(C)11-8图示为一具有球对称性分布的静电场的关系曲线请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的。(A)半径为的均匀带电球面；(B)半径为的均匀带电球体；(C)半径为、电荷体密度(为常数）的非均匀带电球体；(D)半径为、电荷体密度 (为常数)的非均匀带电球体。答：(D)11-9如图，在点电荷q的电场中，选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P点的电势为(A) (B) (C) (D)答：(B)11-10密立根油滴实验，是利用作用在油滴上的电场力和重力平衡而测量电荷的，其电场由两块带电平行板产生实验中，半径为、带有两个电子电荷的油滴保持静止时，其所在电场的两块极板的电势差为当电势差增加到4时，半径为2的油滴保持静止，则该油滴所带的电荷为多少？ 解：，联立有：。11-11设无穷远处电势为零，则半径为的均匀带电球体产生的电场的电势分布规律为(图中的和皆为常量)：答：(C)11-12无限长均匀带电直线的电势零点能取在无穷远吗？ 答：不能。见书中例11-12。
