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1、 用Kirchhoff-Helmholtz方法计算远震PS转换波基金项目 国家自然科学基金项目（40574040）资助作者简介 李红光.男.1982年12月出生.硕士研究生.专业:地球探测与信息技术Email: 李红光， 吴庆举 中国地震局地球物理研究所，北京 100081 摘 要 本文将Kirchhoff-Helmholtz积分方法推广到远震转换波的合成地震图计算，其优点是能够计算复杂界面的地震波。通过与反射率法及动力学射线追踪的对比，表明KH积分方法能很好地模拟远震转换波震相，且精度较高。KH积分方法能够计算任意复杂界面的地震波，是一种研究地壳上地幔结构的有效方法。关键词 KH方法，动力学
2、射线追踪，反射率法，远震转换波 1 引言合成地震图是地震波形解释的一个重要工具。自Helmberger1提出了广义射线合成地震图计算方法，并将其应用于实际地震波形资料的对比和解释工作以后，水平层状介质合成地震图的计算方法得到了迅猛发展，产生了广义射线2、反射率法3、WKBJ近似4、广义反射透射系数方法5,6、离散波数法7,8及全波理论9等合成地震图计算方法。随着地震台网的密集，特别是现代大型地震科学台阵观测技术的问世，使地壳上地幔横向不均匀性的调查和研究成为可能，因此，迫切需要一种能够快速计算横向不均匀介质的合成地震图方法。目前横向不均匀介质中地震波响应的计算方法主要分为以下几类：直接求解弹性
3、动力学波动方程及边界条件的数值方法，例如有限差分方法10-12，有限元方法13；将非均匀介质分解成参考介质和微扰介质，把参考介质中的背景场与散射场相加得到非均匀介质中总波场的扰动法14；基于射线理论的高频渐近方法15；把地震波场表示为边界上的积分方程的边界积分类方法16）等。有限差分方法虽然能很好地模拟复杂介质中的地震波传播过程，但由于有限差分方法非常耗时，限制了其在地壳上地幔尺度的地震波波形模拟和解释工作中的广泛应用。扰动法只适用于横向非均匀性相对较弱条件下的波形模拟工作。当介质的非均匀性比地震波波长大得多的时候，高频渐近方法效果最佳。最典型的高频渐近方法是传统的动力学射线追踪方法，但当存在
4、奇点的时候，传统的射线理论方法不能正常工作。为了克服奇点带来的困难，人们陆续发展了高斯光束方法17和Maslov方法18,19等。目前复杂介质中波形模拟应用最广泛的是高频近似方法。边界积分方法是用边界上波场的积分方程来表示接收点处的地震波场，它很早就被应用到物理学的其他领域，如固体力学、电磁学、流体动力学及热力动力学等。Kirchhoff-Helmholtz积分方法（简称KH方法）20-25即是一种边界积分方法，它是从严格的波动方程出发，将体积分转化为边界积分，当用于计算反射/透射波时，KH积分方法把反射/透射界面上的每个点都看作一个点源，认为每个点源对地震波振幅都有一定的贡献，把界面上每个点
5、的贡献相加就得到了地震波响应。KH方法不同于以往的Kirchhoff方法：Kirchhoff方法是在时间域内做积分，而KH方法是在频率域做积分然后通过傅氏变换得到地震波响应。KH方法不仅计算效率高，而且还能计算介质中存在焦点和散射点的地震波响应，因此，KH积分方法是一种非常好的计算横向非均匀介质合成地震图的方法。KH方法最早被Frazer24应用在反射波的波场模拟，本文把KH方法推广到远震转换波的计算。在推导出远震转换波的KH积分公式的基础上，编制了计算程序，给出了用KH积分计算远震转换波的算例，并与反射率法及动力学射线追踪的结果进行了对比。2 KH积分方法的原理我们首先简要概括一下远震转换波
6、的KH积分公式推导过程。如图1所示，V是一个2D或3D弹性介质体，令为V的边界，是V边界上任一点的外法线向量。是作用于空间x1处的体力，且在V和上为零，分别是体力产生的位移矢量和应力张量。是作用在空间x2处的另一体力，它在V外和上为零，分别是体力产生位移矢量和应力张量。设为 方向的集中力，那么。我们有以下公式24： （1） x1f1ox2Vf2 图1 一个带有边界的体积单元V，是边界的外法线方向，我们希望计算出力在点处引起的位移。 Figure.1 A volume V in(E2 or E3) with boundary .The vector is the outward-pointing
7、 unit normal to .We wish to calculate the displacement at x2 due to a force f1 at x1.根据公式（1），我们只要知道力、在上所产生的位移矢量、与应力张量、，就能求出力在空间V内任意一点x2上的位移矢量。下面，我们将进一步论述如何利用公式（1）计算远震转换波场。 x1 震源接收点 x2U1U2x 图2 用KH积分公式（12）来计算间断面上的透射波场Figure. 2 Application of the KH equations (12) to the calculation of transmission wav
8、esfrom a material discontinuity.如图2所示，是一个复杂的透射界面， 和组成一个闭合的空间V，震源x1位于V外部，接收点x2位于V中。U1表示震源入射到界面上的透射波，U2表示界面上任意一点向接收点辐射的波场，可视为接收点处虚拟震源在界面上所产生的位移场。在高频近似条件下，信号的波长远远小于积分面的变化尺度，因此，可以把附近的和看作平面波。由平面波理论得到平面波的位移公式26： （2）其中A为平面波的振幅大小，为平面波的方向向量，为平面波的频率，向量r为平面波离开震源的距离向量，为纵波速度。由公式（A1）我们得到： （3）由于位移与应力存在如下关系： （4）把公式
9、（A2）代入（A3）就得到P波的应力张量： （5）根据公式（A4），对于两个相互作用的P波： （6）平面波U1ppx2 接收点- - -+ + +U1sU1ssU1spU1pU1psxz 图3 两个弹性半无限空间耦合在一起，边界是个不规则面 Figure. 3 Two elastic half-spaces welded together along an irregular boundary.如图3所示，平面波在界面上的透射波为、。令的位移为： （7）那么透射波的位移可写为： （8）其中：表示透射波的方向向量，；是入射波的方向向量；PP是平面波在界面上的透射系数； 是上的外法线向量。根据公式
10、（6）得到和的作用表达式：代入（A7）： （9）令： 则公式（6）简化为： (10) 我们称为P波的透射相互作用系数。需要注意的是：上面公式中的只有在高频近似，信号的波长远远小于界面的变化尺度条件下才是正确的。在各向同性弹性介质中，假设震源位于点x1，是与空间位置有关的光滑函数，并且信号的波长远远小于这些参数的变化尺度，那么我们得到x点处的P波的振动方程26： (11)公式（11）中，是由震源x1发出的P波射线在x点的切向量，是P波从x1到x的走时。和分别是x1处的介质密度和纵波速度，和分别是x处的介质密度和纵波速度。FP是震源参数，是扩展因子。x1ddAx(a)x1(b)dlx 图4（a）三
11、维中的射线束；（b）二维中的射线束Figure. 4 (a) Ray tube in 3-D;(b) ray tube in 2-D3D介质中，扩展因子B可以表示为： （12）2D介质中，扩展因子表示为： （13）各参数如图7所示。在各向同性的介质中，有|xx1|，|xx1|。方程（12）和（13）是假设射线没有出现焦散的情况。如果实际中射线存在一个或多个焦散点，那么扩展因子B就必须乘上，其中是KMAN指数27。在2D问题中一条射线的KMAN 指数初始值为零，每遇到一个焦散点KMAN 指数就自增一。对于集中力，震源参数为： （14）其中，是从x1到x的P波射线在震源x1的切向量。对于一个双力偶
12、，其中MM（）是二阶对称张量矩阵，震源参数为： （15）对点爆炸源，有： （16）前面我们已经得到： （17）把(10) 、(11)代入公式(17)中就得到了远震转换波的波场： （18）其中，是从x2到x的射线在点x2上的单位切向量。由于公式（18）两边都与成线性关系，两边消掉，得到PP透射波的位移公式： （19）其中: ，,分别为源x1和x2的入射方向。、表示界面上反射点处介质的密度与纵波速度，1、1表示震源x1处介质的密度与纵波速度，2、2表示接收点x2处介质的密度与纵波速度。是扩展因子。PS透射波的积分公式： （20）对于远震情况，我们把看作平面波入射，因此，的方向是不变的。3 数值检验3.1 计算参数的选取由公式（9）和（20）我们可以看出：转换波场是通过边界积分得到的，所以积分区间和积分步长的选取是制约KH积分方法计算效率的两个主要因素。KH积分是个收敛的积分，而我们不可能取无穷大的积分区间，所以必须找一个合适的积分区间，使得结果即能满足我们的要求，又有较高的计算效率。积分步长取得越小，得到的结果越精确，但计算效率
