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1、选修2 1第三章空间向量与立体几何 空间向量的数量积（第1课时）总第（5）教案（理科使用）一、【教学目标】1、掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律。2、掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量方法解决垂直、夹角和距离问题。二、【教学过程】1、夹角定义：a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点0,作0A = a，OB = b，则-AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作：:：a,b 规定：0乞：a,b 二 特别地，如果:a,b =0，那么a与b同向；如果:a,b =二，那么a与b反向；* *如果:a, b =900，那么a与b垂直，记作a_b。2、数量积（1）设a， b是
2、空间两个非零向量，我们把数量|a|b |cos： a,b -叫做向量a，b 的数量积，记作 a b，即 a b=| a |b |cos ： a,b 。（2）夹角:-/ a b+a2b2 +asb3cos ： ： a b ：1 a 1 |b 1aa22 a32 b|2 b22 b32(3)运算律b- ta-b- r*Mb f + +f * a b 二 b a ；( a) b - (b a)； a (b c) = a b a c2 2 2(4)模长公式：若 a = (a1,a2,a3)，贝U | a = ： a； a1a2a3 ，(5)两点间的距离公式：若A(x1, y1, z-), B(x2,
3、y2 ,z2),则 |AB| =AB区-xj2 S - yj2 亿 - zj2(6) a _ b = a b = 0 二y1y2zz2 = 0例1 :已知两空间向量 a,b夹角300，且| a |= 3,| b |= 4。-2 2rrr-求(1) a b ； ( 2) a ,b ； ( 3) (a 2b)(a b)例 2:已知 A（3,1,3）,B （1,5,0）,求：（1）线段AB的中点坐标和长度；2）至U A,B两点的距离相等的点 P （x,y,z）的坐标x,y,z满足的条件。点评：到A，B两点的距离相等的点 P（x,y,z）构成的集合就是线段 AB的中垂面。例 3:已知三角形的顶点是 A
4、（ 1， 1,1），B（ 2,1， 1 ），C （ 1， 1， 2）试求（1）这个三角形的面积；（2） BC边上的高AD方向上的单位向量；（3）若.BAC的角平分线为AE，求向量AE。例4:已知四棱柱 ABCD - ABQQj的底面ABCD是矩形，AB=4，AD=3，AA| =5，一 BAA = DAA| = 60，求 AC1 的长。四、当堂反馈：* -S*-F- T1、已知向量a,b,c满足2ab=（0,-5,10）, c = （1,-2厂2）且 ac = 4,求 b e2、已知m, n是空间两个单位向量，它们的夹角为600，设向量*hfc-b-fc-rfca = 2m n, b二-3m2n
5、。（ 1）求 ab； （ 2）求向量 a 与 b 的夹角。五、作业:1、空间向量a,b , |a |= 3,|b |= 2,若a b = 3,则a与b的夹角为2、已知 AB, BC,CD 两两垂直，且 | AB | = 4,| BC |= 12, | CD = 3;则 | AD |=3、下列结论成立的是 （1）（a） b = （a b）（， R）（ 2）a b = a c二 b 二 c（3）a，b=O=a = O 或 b=0（4）aib： a=b 或 a-b4、已知a, b是单位向量，若a 3b与7a-5b垂直，则:a,b =5、 正四棱柱 ABCA1B1C1D1中，AA =2AB,E为AA的
6、中点，则异面直线 BE与CD1所成角的余弦值为6、已知 1=13,21 = 19,2 b 24, | - b |=7、空间四边形 OABC 中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5. OAC=45,. OAB=60,求 直线OA与BC的夹角的余弦值。8、在空间四边形 ABCD中，已知AB _ CD, AC BD，求证：AD BC .9、已知向量 a = (-2,2,0),b = (-2,0,2)，求向量 n 使，n_a 且 n_b。10、长方体AG,AB =AA, =2, AD =4,E为侧面AB.B的中心，F为A1D1的 中点，求下列向量的数量积。(1) BC ED1(2) BF AB1(3) EF FC111、 正方体AG中，E,F分别是BB1,BQ1的中点，求证：(1)EF _ DA EF/B D1( 3) BD1 _ AD12、求下列各题中两个向量夹角的大小：(1) a =(2,-3, .3),b =(1,0,0)=*IT -巒-(2) a = 2i 2 6j -2k,b二-2i 2k，其中i, j,k是单位正交基底。13、已知 a = (2, T,3), b = (-4,2, x)，且 a _ b，求 x 的值。
