求函数解析式及值域的基本方法

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1、求函数解析式的基本方法求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析 式的基本方法，供广大师生参考。一、定义法根据函数的定义求其解析式的方法。例 1.已知 f(Jx 1) x 2Vx ,求 f(x)。解：因为f ( 一 x 1) x 2 x ( . x) 12 1,.X 1 1,所以 f(x) x2 1(x 1)二、换元法已知fg(x)求f(x)，把g(x)看成一个整体t,进行换元，从而求出 “制的方法。例2.同例1。解：令4 1 t,则t 1, Vx t 1,x (t 1)2,所以 f(t) (t 1)2 2(t 1) t2 1(t 1),2所以f(x) x 1(

2、x 1) o评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元的取值范围，即 f(x)的定义域。三、方程组法根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。例3.已知定义在R上的函数f(x)满足f( x) 2f(x) x 1,求f(x)的解析式。解：f ( x) 2f(x) x 1,f(x) 2f( x) x 1电2得3f (x) 3x 1所以f(x)评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。四、特殊化法通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。例 4.已知函数f(x)的定义域为R ,并对一切实数x, y2f (x y) f (x) 3f(y) x(x 2y 1),求 f (x)

3、的解析式。解：令 y 0得2f(x) f(x) 3f(0) x2 x令 x y 0得 2f (0) f (0) 3f (0),所以f(0) 0,2所以 f(x) x x(x R)五、待定系数法已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方 程，从而求出函数解析式的方法。例5.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x) 2x的解集为1,方程f(x) 6a 0有两个相等的实根，求f(x)的解析式。解：因为f(x) 2x 0的解集为1, 3，设 f(x) 2x a(x 1)(x 3),且a 0,所以 f(x) a(x 1)(x 3) 2x2ax (2 4a)x

4、 3a 由方程f(x) 6a 02得 ax (2 4a)x 9a 0 因为方程有两个相等的实根，24a)2 4a 9a 00,1515 ,所以(23，2即5a4a 1a解得a 0,所以a1 a -将 5得f(x)63-x 一55 。六、函数性质法利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。例6.已知函数y f(x)是r上的奇函数，当x 0日tf(x) 3X 1,求f(x)的解析式。解析：因为f(x)是R上的奇函数,所以 f( x)f(x)，即f (x)f( x)当x 05t, x 0f(x) f( x) (3 x 1)3 x 1f(x)所以3x 1,x 03 x 1,x 0函数

5、值域的八大求法方法一：观察法2 例1.求函数y ，4 x的值域。解析：由 x2 0及J4 x2 0,知J4 x2 0,2故此函数值域为【0，2。评注：此方法适用于解答选择题和填空题。 方法三：反函数法x 1y (x 4)例3.求函数 x 2的值域。x 1 x 2TJ y x d解析：由x 2得 1 y。2y 1/51V 4 y -或y 1由x 4,得1y ，解得 2。5 (,1)-, 此函数值域为2评注：此方法适用范围比较狭窄，最适用于 x为一次的情形。 方法四：分离常数法ad)(的值域为c(-acx dy (a 0, bc注意形如ax b方法五：判别式法x2 1一，y :例5.求函数 x x

6、 1的值域。2解析：原式整理可得(y 1)xyx (y 1)当y 11时,2原式成立。当y 1 0即y 1时,2y 4(y 1) (y1) 0 ,解得2. 55 。综上可得原函数值域为255)O评注：此方法适用于 x为二次的情形，但应注意 y 1 0时的情况。方法六：图象法1例6.求函数y x 1 1(x 0)的值域。解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为(,2( 1,)。评注：此方法最适用于选择题和填空题，画出函数的草图，问题会变得直观明了。方法七：中间变量法5的值域。2 x y 例7.求函数 x5y 32X解析：由上式易得y 1。X2 0,知0,解得 y 3或y 1由y 153,故此函数值域为，5，。评注：此方法适用范围极其狭窄，需要灵活掌握。方法八：配方法例8.求函数y x 2Vx 3的值域。）。解析：因为y（八 1）2 2 2故此函数值域为2, 评注：此方法需要灵活掌握，常常可以达到意想不到的效果。