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1、习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A，B满足关系,则下列表述正确的是( ). (A) 若A发生, 则B必发生. (B) A , B同时发生. (C) 若A发生, 则B必不发生. (D) 若A不发生，则B一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设A表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件表示( ).(A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销.(C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设B表示“甲种商品畅销”，C表示“乙种商品滞销”，根据公式, 本题应选(D).2. 写
2、出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色;(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；(3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数；(4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) 黑球,白球； (2) 黑黑,黑白,白黑,白白； (3) 0,1,2；(4) 设在生产第10件正品前共生产了n件不合格品，则样本空间为.3. 设A, B, C是三个随机事件, 试以A, B, C的运算关系来表示下列各事件：(1) 仅有A发生；(2) A, B, C中至少有
3、一个发生;(3) A, B, C中恰有一个发生;(4) A, B, C中最多有一个发生;(5) A, B, C都不发生;(6) A不发生, B, C中至少有一个发生. 解 (1) ; (2) ; (3) ;(4) ; (5) ; (6) .4. 事件Ai表示某射手第i次(i=1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件：(1) A1A2; (2) A1A2A3; (3); (4) A2A3; (5)； (6).解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第
4、三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题1-31. 选择题 (1) 设A, B为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A). (B).(C). (D). 解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A和B互不相容. (B) AB是不可能事件. (C) AB未必是不可能事件. (D) P(A)=0或P(B)=0.解 本题答案应选(C). 2. 设P(AB)=P(), 且P(A)p，求P(B). 解 因 ,故. 于是3. 已知, 求. 解 由公式知. 于是4. 设A, B为随机事件, 求.解
5、 由公式可知,. 于是.5. 设A, B是两个事件, 且, .问:(1) 在什么条件下取到最大值, 最大值是多少？(2) 在什么条件下取到最小值, 最小值是多少？解 =1.3.(1) 如果, 即当时, =0.7, 则有最大值是0.6 .(2) 如果=1，或者时, 有最小值是0.3 .6. 已知, , 求A, B, C全不发生的概率.解 因为,所以=0, 即有=0.由概率一般加法公式得 由对立事件的概率性质知A ,B, C全不发生的概率是.习题1-41. 选择题在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( ) (A) 都不是一等品. (B) 恰有1件
6、一等品.(C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为, 没有一等品的概率为, 将两者加起即为0.7. 答案为（D）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是;(2) 恰有2件次品的概率是; (3 )至少有1件次品的概率是1-; (4) 至多有1件次品的概率是+; (5) 至少有2件次品的概率是+.3.
7、 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；(3）至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有种，两个球都是白球的取法有种，一黑一白的取法有种，由古典概率的公式知道(1) 两球都是白球的概率是;(2) 两球中一黑一白的概率是;(3) 至少有一个黑球的概率是1.4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和小于;(2) 两数之积小于;(3)以上两个条件同时满足;(4) 两数之差的绝对值小于的概率.解 设X, Y为所取的两个数, 则样本空间S = (X,
8、 Y)|0X, Y1.,(1) PX+Y=;(2) PXY=;(3) PX+Y, XY=0.593.(4) 解 设x, y为所取的两个数, 则样本空间 = (x, y)|0x, y1, 记A = (x, y)|(x, y)S, |x-y|0, P(B)0, 则下列关系成立的是( ). (A)A, B相互独立. (B)A, B不相互独立. (C)A, B互为对立事件. (D)A, B不互为对立事件. 解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A与B独立, 则下面的说法中错误的是( ). (A) 与独立. (B) 与独立.(C) . (D) A与B一定互斥. 解 因事件A与B独立, 故,A与及
9、与B也相互独立. 因此本题应选(D).(3) 设事件A与 B相互独立, 且0P(B)1, 则下列说法错误的是( ). (A) . (B) .(C) A与B一定互斥. (D) .解 因事件A与B独立, 故也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).2设A, B是任意两个事件, 其中A的概率不等于0和1, 证明P(B|A)=是事件A与B独立的充分必要条件.证 由于的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.充分性. 因事件A与B独立, 知事件与B也独立, 因此,从而 .必要性. 已知, 由条件概率公式和对立事件概率公式得到,移项得 化简得 P(AB)=P(A)P(B), 因此A和B独立.3. 设三事件A , B和C两两独立, 满足条件：, 且,求.解 根据一般加法公式有.由题设可知 A, B和C 两两相互独立, , 因此有 从而,于是或, 再根据题设, 故.4 某人向同一目标独立重复射击, 每次射
