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1、第2次作业1如图2-1所示，一小车（重）自高处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数，斜面倾角为，小车与斜面之间摩擦力忽略不计。试求小车的振动周期和振幅。答案：，图2-12确定图2-2所示系统的固有频率。圆盘质量为。答案：图2-23确定图2-3系统的固有频率。答案： 图2-3第三章 两自由度系统振动3-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度
2、系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有
3、集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独
4、立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由度振动系统) 工程实例演示3-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程（汽车动力学模型）以图3.2的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为k1和k2，质量为m1、m2。质量的位移分别用x1和x2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向。(分析)在振动过程中的任一瞬间t，m1和m2的位移分别为x1及x2。此时，在质量m1上作用有弹性恢复力，在质量m2上作用有弹性恢复力。这些力的作用方向如图所示。应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式： （3.1）令则（3.1）式可改写成如下形式： （3.2）这是一
5、个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。(分析)在第一个方程中包含项，第二个方程中则包含项，称为“耦合项”（coupling term）。这表明，质量m1除受到弹簧k1的恢复力的作用外，还受到弹簧k2的恢复力的作用。m2虽然只受一个弹簧k2恢复力的作用，但这一恢复力也受到第一质点m1位移的影响。我们把这种位移之间有耦合的情况称为弹性耦合。若加速度之间有耦合的情况，则称之为惯性耦合。二、固有频率和主振型创造思维：从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是简谐振动。我们也希望在两自由度系统无阻尼自由振动中找到简谐振动的解。因此可先假设方程组（3.2）式有简谐振动解，然后用待定系数法来寻找有简谐
6、振动解的条件。设在振动时，两个质量按同样的频率和相位角作简谐振动，故可设方程组（3.2）式的特解为：（3.3）其中振幅A1与A2、频率、初相位角都有待于确定。对（3.3）式分别取一阶及二阶导数： （3.4）将（3.3）、（3.4）式代入（3.2）式，并加以整理后得：（3.5）上式是A1、A2的线性齐次代数方程组。A1、A2=0显然不是我们所要的振动解，要使A1、A2有非空解，则（3.5）式的系数行列式必须等于零，即： = 0将上式展开得：（3.6）解上列方程，可得如下的两个根： （3.7）由此可见，（3.6）式是决定系统频率的方程，故称为系统的频率方程（frequency equation）或
7、特征方程（characteristic equation）。特征方程的特征值（characteristic value）即频率只与参数a，b，c有关。而这些参数又只决定于系统的质量m1，m2和刚度k1，k2，即频率只决定于系统本身的物理性质，故称为系统的固有频率。两自由度系统的固有频率有两个，即称为第一阶固有频率（first order natural circular frequency）。基频称为第二阶固有频率（second order natural circular frequency）。（推广）理论证明，n个自由度系统的频率方程是的n次代数方程，在无阻尼的情况下，它的n个根必定都是正
8、实根，故主频率的个数与系统的自由度数目相等。将所求得的和代入（3.5）式中得： （3.8）式中：对应于的质点m1，m2的振幅；对应于的质点m1，m2的振幅。由此可见，对应于和，振幅A1与A2之间有两个确定的比值。称之为振幅比（amplitude ratio）。将（3.8）式与（3.3）式联系起来可以看出，两个m1与m2任一瞬间位移的比值。系统的其它点的位移都可以由x1及x2来决定。这样，在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可以由振幅比确定，也就是振幅比决定了整个系统的振动形态。因此，我们将振幅比称为系统的主振型（principal mode），也可称为固有振型（natural mode）。其
9、中：第一主振型，即对应于第一主频率的振幅比；第二主振型，即对应于第二主频率的振幅比。当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动时，即称为系统的主振动（principal vibration）。所以，第一主振动为：（3.9）第二主振动为：（3.10）为了进一步研究主振型的性质，可以将（3.7）式改写成如下形式：因为 因为上式的等式右边恒大于零，所以，由（3.8）式知，因为上式的等式右边恒小于零，所以，由（3.8）式知，。(说明)由此可见，表示的符号相同，即第一主振动中两个质点的相位相同。因此，若系统按第一主振型进行振动的话，两个质点就同时向同方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时达到最大偏离位
10、置。而，则表示第二主振动中两个质点的相位相反，永远相差180。当质量m1到达最低位置时，质量m2恰好到达最高位置。它们一会相互分离，一会又相向运动，这样，在整个第二主振动的任一瞬间的位置都不改变。这样的点称为“节点”（nodal point）。振动理论证明，多自由度系统的i阶主振型一般有i1个节点。这就是说，高一阶的主振型就比前一阶主振型多一个节点。阶次越高的主振动，节点数就越多，故其相应的振幅就越难增大。相反，低阶的主振动由于节点数少，故振动就容易激起。所以，在多自由度系统中，低频主振动比高频主振动危险。三、系统对初始条件的响应思维方式：前面分析了两自由度系统的主振动，而这些主振动又都是简谐
11、振动。但两自由度系统在受到干扰后出现的自由振动究竟是什么形式呢？这要取决于初始条件。从微分方程的理论来说，两阶主振动只是微分方程组的两组特解。而它的通解则应由这两组特解相叠加组成。从振动的实践来看，两自由度系统受到任意的初干扰时，一般来说，系统的各阶主振动都要激发。因而出现的自由振动应是这些简谐振动的合成。所以，在一般的初干扰下，系统的响应是：（3.11）式中，四个未知数要由振动的四个初始条件来决定。设初始条件为：t=0时，经过运算，可以求出： （3.12）将（3.12）式代入（3.11）就得到系统在上述初始下响应。四、振动特性的讨论1运动规律从（3.11）式可以看出，两自由度系统无阻尼自由振
12、动是由两个简谐振动合成的。但从（3.7）式来看，这两个分振动的频率的比值却不一定是有理数，因此合成不一定呈周期性。所以系统的自由振动一般来说是一种非周期的复杂运动。在这一振动中，各阶主振动所占的比例由初始条件决定。但由于低阶振型易被激发，所以通常情况下总是低阶主振动占优势。只有在某种特殊的初始条件下，系统才按一种主振型进行振动。2频率和振型两自由度系统有两个不同数值的固有频率，称为主频率，当系统按任一个固有频率作自由振动时，即称为主振动。系统作主振动时，任何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。3节点和节面在两自由度系统的高阶主振型中存在着节点，而在第一阶
13、主振型中却不存在节点。对多自由度系统来说也是如此，而且主振型的阶数越高，则节点数也就越多。一般来说，第i阶主振型有i-1个节点。对于弹性体来说，节点已经不再是一个点，而是联成线或面，称为节线（nodal line）和节面（nodal surface）。4阻尼若系统存在阻尼，则阻尼对多自由度系统的影响和单自由度系统相似。由于在工程结构中一般阻尼较小，故可略去不计。例 试求如图3.4所示的系统的固有频率和主振型。已知。又若已知初始条件为，试求系统的响应。 解：该系统的运动微分方程式为令 则可解出：类比前面形式：主行列式为零。因为 故根据给定的初始条件，代入（3.12）式得：故系统的响应为：五、主振
14、型的正交性如前所述，两自由度系统有二个固有频率和二个相应的主振型。现在我们来研究这二个主振型之间的关系。为了便于分析研究，我们先来讨论以下几个例子。例1一个质量为m的小球，固定在垂直安装的细长圆截面弹性杆的顶端，杆子下端固定在地面，如图3.6所示。杆子质量略去不计。现分析其振动情况。设O点是平衡位置，小球在水平面xoy上的小范围内运动，其任一瞬时的位置可以用矢量r来确定。小球的坐标则可通过方向余弦求得：式中：i，j分别表示x，y轴上的单位矢量。当小球偏离平衡位置O点后，就要受到圆杆的弹性恢复力F的作用。由于圆杆在任何方向上的刚度k都相等，故将力投影到x，y轴上得：因此，可建立系统的运动微分方程
15、式：这是两个彼此独立的单自由度系统的运动微分方程式，在x方向和y方向两个自由度上没有耦合，而且由于在这两个方向上k相等，故两个方向的振动频率也相等。即所以两个方向的自由振动都是简谐振动，且频率相等。其合成结果一般情况下是个椭圆。由此可见，在x，y方向，系统均按其固有频率作自由振动，故均为主振动。也就是说，在x和y方向，系统均具有确定的振动形态。所以系统的两个主振型也分别沿x和y方向，也就是说，系统的两个主振型是互相垂直的。例2若将图3.6所示系统中的弹性杆的截面改成矩形，试分析其振动情况。由于弹性杆截面为矩形，故杆件在两个互相垂直的方向上抗弯刚度就有所不同。现取杆截面的两个惯性主轴作为x、y坐标轴，则x轴方向上的刚度为kx，y轴方向上的刚度为ky，因而系统的运动微分方程式即成为：两个方向上的频率不等，它们分别为：。这时，在x，y两个方向上是不同频率的简谐振动，其合成结果就是不同频率的李沙如图。振动运动学知识在x和y方向，系统仍按固有频率作自由振动，故仍是主振动，因而主振型分别沿x和y方
