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1、第8章、单位根、协积和格兰杰因果关系谬误回归（spurious regression）：两个没有任何逻辑联系的序列进行回归，含有很高的R2，因为两个序列都与时俱进（具有时间趋势）。例子，考研人数与手机数量。那么，消费函数也是谬误回归吗？点击美国消费数据文件，工具栏中选择quick/graph，输入co y，观察图形。当我们引入平稳和非平稳的概念。如果消费、收入和残差是非平稳的，那么所有的统计量全部失效了。并且，我们将发现，消费和收入确实是非平稳的。本节使用单位根、协积和格兰杰因果关系来研究这个问题。1、单位根1、平稳性定义：随机过程yt是弱平稳的（weakly stationary，covar
2、iance stationary），若（1）Eyt与t无关（2）var(yt)是与t无关的常数（3）cov(yt, ys)是t-s的函数，但不是t或s的函数2、AR(1)过程定义：yt服从一阶自回归过程（autoregressive process），记为AR(1)，若其中是白噪声（white noise，即，），。3、AR(1)过程是平稳序列吗？若yt服从AR(1)过程，试计算yt的均值、方差和自相关函数。定理：若，则AR(1)过程是平稳过程。因为（1）（2），（3）证明：（1）（2）依据协方差的定义，有（3）观察：若，yt还是平稳过程吗？为什么？看图识平稳。下面分别给出时间序列的图形和程序
3、。是平稳过程吗？y(1)=0;for t=1:1200y(t+1)=5+0.8*y(t)+2*randn;end;plot(y)y(1)=0;for t=1:1200y(t+1)=5+0.1*y(t)+2*randn;end;plot(y)y(1)=0;for t=1:1200y(t+1)=5+0.0001*y(t)+2*randn;end;plot(y)y(1)=0;for i=1:1200y(t+1)=5+0.95*y(t)+2*randn;end;plot(y)y(1)=0;for t=1:1200y(t+1)=5+0.9999*y(t)+2*randn;end;plot(y)y(1)=
4、0;for t=1:1200y(t+1)=5+1.0*y(t)+2*randn;end;plot(y)y(1)=0;for t=1:1200y(t+1)=5+1.1*y(t)+2*randn;end;plot(y)4、积分过程积分过程（integrated process），也译为“单整过程”或者“求和过程”。定义：yt是非平稳过程，但是一阶差分以后是平稳过程。称yt为一阶积分过程，记为I(1)。定义：I(d)过程，若是平稳过程。显然，I(0)过程是平稳序列。习题：将yt进行d阶差分，即，展开以后观察是否等于。Ld表示d阶滞后算子，即Ldytytd。当回归模型中含有非平稳的I(d)序列时，常规
5、的统计推断都不再成立，因此必须检验被解释变量和解释变量是不是平稳的。标准的检验方法是“单位根检验”。5、单位根单位根过程（unit root）随机游动（random walk）I(1)过程的AR(1)过程使用数学记号表示为其中是白噪声。练习：计算I(1)过程的均值和方差6、单位根检验（1）DF检验（DickeyFuller test）等价于其中。如果存在单位根，即，那么。因此定义原假设H0：等价于似乎可以直接对进行线性回归，并进行系数g的t检验，但是这是不对的。因为在存在单位根的原假设下，系数的t统计量不再服从常规的t分布了。Dickey和Fuller（1979）证明了分布不是标准的t分布，并
6、模拟了给定样本大小的临界值。比如，下面的定理。定理（DickeyFuller检验）：若H0为真，那么证明：见Financial Econometrics，Gourieroux and Jasiak。使用这个定理不太方便，Eview给出了更加方便的结果。（2）使用Eviews进行单位根检验Eviews提供了如下三种检验形式： 包含常数项 包含常数项和线性时间调整项 无常数项和线性时间调整项 如果时间趋势和常数都不显著，就改为无常数项和线性时间调整项的情形。选择Quick/Series Statistics/Unit Root test，输入序列名即可。Lagged differences 为0即
7、为DF检验Lagged differences 不为0即为ADF检验例子：美国消费和可支配收入的ADF检验消费和收入的图形为感觉消费和收入是平稳序列吗？对y进行ADF检验。滞后期为0，即DF检验。ADF Test Statistic-2.189975 1% Critical Value*-4.1035 5% Critical Value-3.4790 10% Critical Value-3.1669*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.Augmented Dickey-Fuller Test
8、 EquationDependent Variable: D(Y)Method: Least SquaresDate: 11/26/04 Time: 17:14Sample(adjusted): 1930 1994Included observations: 65 after adjusting endpointsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. Y(-1)-0.0467090.021329-2.1899750.0323C2.3552289.6814460.2432720.8086TREND(1929)3.8440711.1485743
9、.3468210.0014R-squared0.359151 Mean dependent var49.99385Adjusted R-squared0.338478 S.D. dependent var47.27257S.E. of regression38.44867 Akaike info criterion10.18158Sum squared resid91654.63 Schwarz criterion10.28194Log likelihood-327.9014 F-statistic17.37329Durbin-Watson stat1.693296 Prob(F-statis
10、tic)0.000001表中Y(-1)、C和Trend分别表示模型中的参数和。D(Y)表示消费的一阶差分。观察下面的命令：如何读表？注意，从而，因此观察分布的左边即可。Eviews软件给出了ADF统计量（t统计量）的数值以及1、5和10三个显著性水平的临界值。如果以5作为显著性水平，那么 若t统计量在5CV左边，则拒绝H0，即无单位根，序列是平稳的。 若t统计量在5CV右边，并且为负，则不能拒绝H0，即有单位根，序列是非平稳的。 若t统计量在5CV右边，并且为正，则序列是爆炸性的，显然也是非平稳的。ADF Test Statistic为10.16257，比显著性水平为10%的临界值都大，因此不
11、能拒绝原假设，即序列存在单位根，是非平稳的。实际上，是爆炸性的序列。注意：按照多元线性回归的t统计量，Y(-1)的系数是显著的！按照ADF检验，不显著。因此，这说明非平稳时间序列的回归的t统计量和F统计量是无效的。不能使用非平稳时间序列的t统计量做显著性检验。7、ADF检验当yt为AR(1)过程时，DF检验是有限的。若为AR(p)过程，那么必须使用ADF检验（Augmented DF）。将AR(p)过程写成如下差分的形式，注意p等于1时，ADF检验就退化为DF检验。因此，DF是ADF的特例：。Eviews实现：与DF一样，除了Lagged differences选择p即可。如何选择p：找AIC
12、和SC最小的p。回顾AIC和SC定义：AIC准则（Akaike information criterion）AIC越小越好，结合如下两者：K（自变量个数）减少，模型简洁LnL增加，模型精确SC准则（Schwaz criterion）例子：消费和收入的ADF检验通过调整ADF检验的滞后期，取AIC和SC最小的滞后期。8、PP检验（Pillipsperron）不作要求。9、I(d)过程的检验d阶积分过程的定义：原始序列是非平稳过程，但是经过d次差分后是平稳过程，记为I(d)。我们按照这个定义进行检验，以I(1)为例。检验yt是I(1)过程：step1：yt是非平稳的step2：差分序列yt是平稳的
13、（单位根检验时，改为1st difference）例子：消费、收入和GDP是积分过程吗？2、协积协积（cointegration，协整）的重要意义：1. 两个非平稳时间序列之间的线性回归的t检验和F检验是无效的。但是，Granger指出如果两个非平稳时间序列之间有协积关系，那么线性回归的t检验和F检验是有效的。2. Granger 还指出，如果两个时间序列存在协积关系，那么这两个序列至少在一个方向上存在Granger 因果关系。不是谬误回归。1、协积定义 随机过程和都是非平稳的，但两者的线性组合却有可能是平稳的，这个线性组合反映了和之间存在长期的均衡关系。协积的数学定义：考虑下面的回归方程其中
14、和都是I(d)过程（一般情况下，也是I(d)），但是I(0)即为平稳过程。那么称和是协积的，是协积向量。 协积的含义：如果回归残差是平稳的，那么t检验和F检验仍然可用。反过来想，若残差不平稳，不满足，无自相关，违反了多项线性回归的第三个假设，t检验和F检验都无效。因此，单位根和协积的意义在于迫使我们去检查回归残差是否平稳。（）2、协积检验：EngleGranger检验多变量协积的定义和检验要用VAR模型和Johansen检验。下面只考虑最常见的两变量情形。EG检验：依据定义即可，下面以消费函数为例step 1：消费co是I(d)过程即d次差分后无单位根，是平稳过程。通过改变滞后期，选取AIC和SC
