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1、数学真理是什么？叶峰 （北京大学哲学系）摘要现代物理学告诉我们，宇宙可能是有穷的，时空也可能是离散而非连续的，但在现代数学中我们似乎有着非常确定的、关于某些无穷和连续的数学对象和结构的真理。这些独立于物质世界的数学对象和结构果真存在吗？数学定理果真是关于它们的客观真理？我们的物质性的、有限的大脑又如何真的可能认识那些独立于物质世界的、而且是无穷的事物？也许不应该以这种方式理解数学真理？这是令当代西方一些哲学家困惑的一个问题。本文的目的是向哲学专业以外的读者介绍近代与当代一些哲学家对这个问题的思考，并作一些评述。关键词：数学哲学、真理、数理逻辑、康德、弗雷格、哥德尔、卡尔纳普、蒯因一、 数学真理
2、是什么？如果问题是数学的内容是什么，那么回答自然是，数学包括分析、代数、几何等等。但我们这里关心的是，这些分析、代数、几何中的定理是什么性质的真理，它们与我们所认识到的其它真理，比如自然科学中的真理，有什么共同点与差异？尤其是，数学真理的基础是什么？或者说，数学定理之为真，是依赖于什么？比如，自然科学中的一个论断的真假，是依赖于该论断是否与现实的物质世界的实情相符合。大爆炸宇宙模型是真的，指的是这个现实的宇宙确实是像这个模型所描述的,或者说，这个模型符合这个现实的宇宙；同样，牛顿运动定律是近似地真的，指的是它们近似准确地描述了现实世界中的物质运动的实情。这些都是常识，没有什么特别深奥的。那么,
3、说一个数学命题是真的，也是指该命题真实地描述了某个数学世界中真实存在着的数学对象与结构吗？比如，说一个关于自然数的命题是真的，也是指该命题真实地描述了真实存在着的自然数吗？听起来这好象是显然的，但是仔细分析一下我们会看出，它实际上蕴含了一个谜。首先，它蕴含了存在着一个独立于物质世界的抽象的数学世界。因为现代物理学告诉我们，我们生存于其中的这个物质世界可能是有穷的：在宏观上，大爆炸宇宙模型提供了一个宏观上有穷的宇宙模型；在微观上，有关量子引力的一些现象，显示着在微观的普朗克尺度上，时空的自由度可能是有限的，这意味着，时空在微观上可能是离散的而不是连续的。而另一方面，数学中的许多对象和结构是很确定
4、地被描述成无穷的对象和结构。最简单的自然数也有无穷多个。虽然宇宙是有穷还是无穷在现代物理学中没有定论，但我们可以假设，即使现实的物质世界果真是有穷的，数学定理的真理性应该还是不变的。至少，“对任一自然数，都有一个比它大的另外一个自然数”这样一个命题应该还是真的。这已经意味着，数学中的无穷的对象和结构，应该是与现实的物质世界无关的对象和结构。即使现实的物质世界果真是有穷的，我们还是有同样的无穷多个自然数、同样的数学真理。我们甚至将数学应用于明显是有穷的领域，比如经济学中。可见，即是整个宇宙是有穷的，那也不过就像在经济学领域一样，我们还是可以应用同样的数学。在那里，虽然无穷的数学模型只是近似地描述
5、了现实世界中的现象，但是数学定理对于那些无穷数学模型来说，应该是严格准确地真的。所以，那些无穷数学模型中的数学对象和结构，只能是存在于一个独立于现实的物质世界的数学世界中。换句话说，数学世界只能是一个独立于现实的物质世界的独立王国。是否果真存在着这样一个独立的数学王国，当然会引起我们的怀疑。更重要的是，我们人类应该是这个现实的物质世界中的一个部分。我们的大脑，应该是这个现实的物质世界长期进化的产物。我们的知识应该来源于我们的大脑通过我们的感觉器官与物质世界的相互作用。所以，一个哲学上的谜就是：这样一个有限的大脑与有限的物质世界的相互作用，如何能够产生对那个独立王国中的无穷、甚至超无穷的数学对象
6、和结构的知识？这是否意味着我们有着独立于物质性的大脑的某种心灵，而且我们的心灵有着某种神秘的直觉，可以认识超出有限的物质世界之外的无穷、甚至超无穷的数学对象和结构？这是否意味着神秘主义？换句话说，它是这样一个谜：一方面，直观上我们似乎确实有着关于无穷、甚至超无穷的数学对象和结构的知识；另一方面，如果它们真的是独立于现实的物质世界的对象和结构，我们究竟是如何得到关于它们的知识的？究竟是依据什么来断定一个数学定理或公理是真的？我们不能观察到那些无穷的对象和结构，不能像对牛顿力学那样，用观察来验证它是近似地真的，用观察来验证它不如相对论更准确等等。所以，一个数学命题之为真的依据究竟是什么？ 也许，并
7、没有这样一个独立于现实的物质世界的数学上的独立王国。那么，数学真理又是什么？数学定理还是客观真理吗？一种自然的想法是，数学公理只是假设。它们本身不是客观真理。数学家们只是从那些假设推导出定理。但是，数学家们显然不是在随意地作假设。科学家们作一些科学假说，是因为他们揣测那些假说可能是真的，然后他们用实验去验证或反驳那些假设。同样地，数学家们接受了一些公理，从那些公理推导出定理，是因为他们确实直觉到那些公理的自明性。他们不会任意地选择一些命题作为公理，然后就去推导定理。比如，假设用现有的公理可以证明哥德巴赫猜想，而用另外一些公理可以推导出哥德巴赫猜想的否定。假如公理仅仅是一些任意的假设，那么是不是
8、说哥德巴赫猜想本身也无所谓真假了？将数学公理仅仅看成假设，可能是因为混淆了两类不同意义上的公理。一种是像一些数学结构的定义公理，比如群的定义公理。这些公理确实只是假设。群的定义只刻画了群这一类结构，它们本身不蕴涵群存在。要证明群存在，需要一些更基本的更实质性的公理，也就是集合论中的公理，它们断言空集存在，两个集合的并集存在等等。特别地，要证明无穷群存在，需要集合论中的所谓无穷公理，即至少存在一个无穷集。无穷公理似乎不仅仅是假设。它直接地断定无穷集存在。如果它是假的，如果无穷集不存在，那么很大一部分数学似乎就无意义了。而且，从另一方面看，既然像无穷公理、选择公理这样的假设，使得所推导出的数学定理
9、在科学中有着广泛的应用，我们能否说科学就证明了这些假设不仅仅是随意的假设，而是蕴含着真正的真理？这些问题，是关于数学真理是什么的主要问题。概括起来是：数学真理是什么性质的真理？一个数学命题之为真是依赖于什么？我们是依据什么来认识数学真理和判断一个数学命题（包括公理）为真的？我们将称之为数学的真理性问题，或关于数学真理性的困惑 类似的疑问最早是由P. Benacerraf提出的。参见P. Benacerraf: “Mathematical Truth”, 载于P. Benacerraf & H. Putnam (eds.): Philosophy of mathematics: Selected
10、 readings, Cambridge University Press, 2nd ed. 1983.。本文的目的不是回答这些问题。本文的目的是简要地介绍历史上哲学家们对数学真理的本质的思考，考察它们是否提供了对这个问题的答案。同时我们还想从中寻找一些发展脉络，尤其是考察，种种困难如何迫使哲学家们对数学真理的定位摇摆于逻辑真理与经验科学的真理之间。这里，我们是从现代数学的角度提出这些疑问的。现代数学产生之前的对数学真理的本质的哲学思考，不可避免地有着它们的时代局限性，但是它们在今天还是会有一些启发性的意义。所以本文将从考察恩格斯对数学的定义和康德对数学真理的定位开始。但我们将主要考察最近一百
11、年来西方哲学家对这些问题的思考，并对之作出一些评价。另外，本文的目的不是要完整地描述数学哲学的历史，所以我们将只考察那些与数学真理的本质与定位有关的哲学思想。我们将侧重于这些哲学问题，但是本文将不假设读者具备任何哲学史或现代数理逻辑的知识。关于数学真理的本质的问题，应该是任何具备了一些现代数学和自然科学常识的人都可以认真思考的问题。本文的目的之一，是希望能引起非哲学专业的读者们对这一问题的兴趣。因此，我们将不繁琐地引证我们对一些哲学家的思想的阐释的正确性，而将侧重于用非专业性的语言，勾画出历史上哲学家们对这些问题的思考的脉络。另一方面，对数学真理的本质的思考，确实又是西方哲学的主要动力之一。从
12、毕达哥拉斯和柏拉图，到康德，又到二十世纪以来的西方分析哲学，哲学家们都想为数学真理在我们的知识大厦中找到一个合适的位置。而这种努力所遭遇到的困难，使得一些哲学家们提出了一些深刻的见解，也迫使一些哲学家提出了一些从常识看来似乎是荒谬的世界观。理解这一点，也有助于理解西方哲学。二、 数学与自然科学最常听到的对数学的定义也许是恩格斯的定义：“数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学”。许多人已经正确地指出，现代数学的内容已经远远超出“现实世界的数量关系与空间形式”所能概括的范围。现代代数学中所研究的代数结构，和现代分析中所研究的函数空间等等，很难用“数量关系”来概括；现代几何学所研究的，也远远超
13、出了“现实世界的”空间形式。尤其是，现代数学中研究的许多对象是无穷的对象，包括无穷的代数结构，无穷的几何空间等等，而现代物理学告诉我们，我们生存的这个物理世界有可能是有穷的。所以数学中研究的许多对象，已经远远超出了“现实世界”。基于这一点，特别是由于布尔巴基学派的影响，有人提出，恩格斯的定义可以修改为：“数学是关于抽象模式或抽象结构的科学”。但是，这种简单草率的推广忽略了一个非常严重的问题。在恩格斯原来的定义中，“现实世界”这个限制与“科学”这个概括其实是密切相关的。自然科学探索关于现实世界的真理。自然科学中的论断的真理性依赖于现实世界的实际构成，是对现实世界的反映。大爆炸宇宙模型如果是真的，
14、那是由于现实的宇宙恰好是如此。牛顿引力理论是近似地正确的，那也是由于现实的物质世界恰好是如此。自然科学可能会发现一些一般性的定律，独立于我们在这个现实世界中观察到的偶然的初始条件，但是它们也是关于现实世界的一般性定律。我们也许可以想象另外一种物质世界，在其中，物理定律与这个真实的世界中的物理定律完全不同。但这不是自然科学所关心的。自然科学关心的是这个真实的世界。对自然科学真理的验证，依赖于我们对现实世界的观察，来源于我们的经验。如果数学研究的也是现实世界中的数量关系与空间形式，那么数学与自然科学在本质上是相同的，因此数学可以被归类在科学之下。比如，也许与物理学相比，数学只是考虑现实世界中物体的
15、一些更简单、更一般的属性。比如只考虑物体的个数、形状等“数量与几何属性”，而不考虑它们的质量、颜色等物理属性。也许m+n=n+m与物理定律一样，是对现实世界中物体的个数的真实描述，只不过它比物理定律更简单，已经经过了无数次的经验验证。同样地，也许平面几何中的定理，是对现实世界中物体的形状的真实描述，虽然在几何学中我们可以通过证明来得到许多这些真理，而不必去直接地测量，因为只要那些公理是对现实世界中物体的形状的真实描述，由公理严格推导出的定理也一定是对现实世界中物体的形状的真实描述。所以恩格斯的定义虽然不能概括现代数学，但至少在逻辑上是自洽的，在概念上是清晰的，而且用于初等数学时，有明显的合理性
16、。但是，如前所述，现代数学研究的是所谓抽象结构，包括与现实物质世界毫不相干的结构，比如与现实的宇宙毫不相干的一些几何空间，因此现代数学应该在本质上不同于自然科学。将研究抽象结构的数学称为“科学”，掩盖了一些根本性的问题：比如，所谓的抽象结构，尤其是超出这个现实世界的结构，究竟是什么？它们果真存在吗？数学真理的基础又是什么？比如集合论中的所谓无穷公理，即至少存在一个无穷集，假如现实的物理世界在微观和宏观上都是有限的，那么无穷公理的真理性的基础又是什么？还有，现代数学中广泛地用到选择公理，它的真理性的基础又是什么？显然它们不能像自然科学中的真理一样，是基于它们与现实的物质世界相符合，因为现实的物质世界中可能根本不存在无穷。如果它们的真理性依赖于它们与所谓的抽象结构相符合，那么就有了上一节所提到的那些谜：既然我们不能用眼睛，甚至不能用望远镜去观察它们是否符合，我们究竟是如何认识那些公理的真理性的？这些都显示着现代数学与自然科学的差异，以及将现代数学描述为关于抽象模式或抽象结构的科学所带来的问题。所
