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1、第21讲 逻辑推理问题教学目标l 学会对一个问题进行分析、推理；l 利用我们的推理来解决一些较简单的问题；l 通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。知识梳理一、推理问题 解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。通常，我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。二、解题策略 解答推理问题常用的方法有：排除法、假设法、反证法。一般可以从以下几方面考虑：1、选准突破口，分析时综合几个条件进行判断；2、根据题中条件，在推理过程中，不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论；3、对可能出现的情况作出假设，然后再根据条
2、件推理，如果得到的结论和条件不矛盾，说明假设是正确的；4、遇到比较复杂的推理问题，可以借助图表进行分析。典例分析例1、有三个小朋友们在谈论谁做的好事多。冬冬说：“兰兰做的比静静多。”兰兰说：“冬冬做的比静静多。”静静说：“兰兰做的比冬冬少。”这三位小朋友中，谁做的好事最多？谁做的好事最少？【解析】我们用“”来表示每个小朋友之间做好事多少的关系：兰兰静静，冬冬静静，冬冬兰兰所以，冬冬兰兰静静，冬冬做的好事最多，静静做的最少。例2、卢刚、丁飞和陈瑜一位是工程师，一位是医生，一位是飞行员。现在只知道：卢刚和医生不同岁；医生比丁飞年龄小，陈瑜比飞行员年龄大。问：谁是工程师、谁是医生、谁是飞行员？【解析
3、】卢刚和医生不同岁，所以卢刚不是医生，医生比丁飞年龄小，丁飞也不是医生，那么只有陈瑜是医生；由此为突破口，进行推理，找出各自的职业；卢刚和医生不同岁，所以卢刚不是医生；医生比丁飞年龄小，丁飞也不是医生，那么只有陈瑜是医生；陈瑜比飞行员年龄大，所以卢刚是飞行员；剩下的丁飞是工程师；所以丁飞是工程师，陈瑜是医生，卢刚是飞行员例3、有一个正方体，每个面分别写上汉字：数学奥林匹克。三个人从不同角度观察的结果如下图所示。这个正方体的每个汉字的对面各是什么字？ 【解析】如果直接思考某个汉字的对面是什么字比较困难，可以换一种思维方式，想想某个汉字的对面不是什么字。从图（1）可知，“奥”的对面不是“林”、“匹
4、”，从图（2）可知，“奥”的对面不是“数”、“学”。所以，“奥”的对面一定是“克”。从图（2）可知，“数”的对面不是“奥”、“学”；从图（3）可知，“数”的对面不是“克”、“林”，所以“数”的对面一定是“匹”，剩下“学”的对面一定是“林”。例4、甲、乙、丙三个孩子踢球打碎了玻璃，甲说：“是丙打碎的。”乙说：“我没有打碎破璃。”丙说：“是乙打碎的。”他们当中有一个人说了谎话，到底是谁打碎了玻璃？【解析】由题意推出结论，必须符合他们中只有一个人说了谎，推理时可先假设，看结论和条件是否矛盾。如果是甲打碎的，那么甲说谎话，乙说的是真话，丙说的是谎话。这样两人说的是谎话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以
5、不是甲打碎的。如果是乙打碎的，那么甲说的是谎话，乙说的是谎话，丙说的是真话，与他们中只有一人说谎相矛盾，所以不是乙打碎的。如果是丙打碎的，那么甲说的是真话，乙说的是真话，而丙说的是谎话。这样有两个说的是真话，符合条件中只有一个人说的是谎话，所以玻璃是丙打碎的。例5、已知甲、乙、丙三人中，只有一人会开汽车。甲说：“我会开汽车。”乙说：“我不会开。”丙说：“甲不会开汽车。”如果三人中只有一人讲的是真话，那么谁会开汽车？【解析】假设甲会开车，那么，甲和乙说的是真话，所以和已知矛盾，所以甲不会开车； 假设乙会开车，那么甲和乙说的是假话，丙说的是真话，符合题意； 假设丙会开车，那么乙和丙说的是真话，也和
6、题意矛盾； 所以，乙会开车。例6、甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。最后：甲说：“丙是第一名，我是第三名。”乙说：“我是第一名，丁是第四名。”丙说：“丁是第一名，我是第三名。”丁没有说话。成绩揭晓时，大家发现甲、乙、丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗？【解析】推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助分析，我们可以借助图表进行分析。（1）乙说“我是第一名”也是错的，而乙说“丁是第四名”是对的。（2）由丁是第四名推出丙说“丁是第二名”是错的，根据条件，丙说“我是第三名”是对的。（3）这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。重新推理： （1）由甲说的“我是第一名”推出丙说
7、的“我是第三名”是错的，而丙说的“我是第一名”是对的。（2）由“丁第二名”推出乙说的“丁是第四名”是错的，而乙说的“我是第一名”是对的。（3）从表中我们可看出：乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。例7、甲、乙、丙、丁四个人进行游泳比赛，赛前名次众说不一。有的说：“甲是第二名，丁是第三名。”有的说：“甲是第一名，丁是第二名。”有的说：“丙是第二名，丁是第四名。”实际上，上面三种说法各说对了一半。甲、乙、丙、丁各是第几名？【解析】第一甲，第二丙，第三丁，第四乙。（1）假如甲说丙第一名是对的，那么甲说：“我是第三名”是对的，乙说“我是第一名”也是错的，而乙说的“丁是第四名”是对的。（2）
8、由丁是第四名排出丙说丁是第二名是错的，据条件，丙说“我是第三名”是对的。（3）这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。所以重新推理得：第一甲，第二丙，第三丁，第四乙。例8、A、B、C、D与小强五个同学一起参加象棋比赛，每两人都赛一盘，比赛一段时间后统计：A赛了4盘，B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了一盘。问小强已经赛了几盘？【解析】用五个点表示这5个人，如果某两个之间已经进行了比赛，就在表示这两个人的点之间画一条线。现在A赛4盘，所以A应该与其余4个点都连线。B赛了3盘，由于D只赛了1盘，是和A赛的，所以B应该与C连。（B、A已连线）C已连了2条线，小强也连了2条线，所以小强已赛了2盘。例9、
9、有8个球编号是（1）（8），其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。为了找出这两个轻球，用天平称了3次，结果如下：第一次：（1）+（2）比（3）+（4）重；第二次：（5）+（6）比（7）+（8）轻；第三次：（1）+（3）+（5）与（2）+（4）+（8）一样重。那么，两个轻球分别是几号？【解析】 从第一次看，（3）、（4）两球中有一个轻；从第二次看，（5）、（6）两球中有一个轻；从第三次看，（1）、（3）、（5）中有一个轻，（2）、（4）、（8）中也有一个轻。综合上面的分析可以推出，两个轻球的编号分别是（4）和（5）。例10、甲、乙、丙、丁四个人中，乙不是最高，但他比甲和丁高，而甲不比丁高。请说
10、出他们各是几号。 【解析】一共有四人，乙不是最高的，但它比甲、丁高，所以乙的身高在四人中数第二，丙是第一；甲丁的身高处于后两位，甲不比丁高即丁高，甲矮，所以丁是第二，甲最矮.据此即可解答：由乙不是最高的，但它比甲、丁高可知:乙的身高在四人中数第二，丙是第一;由甲不比丁高可知:丁是第三，甲最矮.所以甲是3号，乙是4号，丙是2号，丁是1号.例11、小英、小明、小亮在一次语文、数学、英语三门考试中，每人都获得了其中的一门第一名，一门第二名和一门第三名。现在只知道小英获得了语文成绩的第一名，小明获得了数学第二名。获得英语成绩第一名的是谁？【解析】因为小英获得了语文第一名，所以，小明获得的第一名只能是英
11、语或数学，而小明已获得了数学第二名，不可能再获得数学第一名，因此，获得英语第一名的一定是小明。例12、有6只盒子，每只盒内放有同一种笔，6只盒子所装笔的支数分别是11支、13支、17支、20支、28支、43支。在这些笔中，水彩笔支数是圆珠笔的2倍，铅笔的支数是水彩笔的一半，其中有一只盒子放的是钢笔。这盒钢笔共有多少支？【解析】因为水彩笔是圆珠笔的2倍，而铅笔是水彩笔的一半，即水彩笔也是铅笔的2倍，所以，水彩笔、圆珠笔和铅笔的总支数一定是4的倍数。11+13+17+20+28+43=132支，132正好是4的倍数，说明那一盒钢笔也正好是4的倍数，而满足条件的只有20和28。（1）当钢笔是20支时
12、：（13220）4=28支，17+11=28支，43+13=56支符合条件；（2）当钢笔是28支时：（132-28）4=26支，题中没有一盒或2盒的和是26，不符合条件。所以， 盒钢笔有20支。例13、小明看一本书，如果看过的页数每天比前一天增加一倍，7天正好看完。已知这本书一共96页，他第几天看到了12页？【解析】 由于他每天看过的页数比前一天增加一倍，7天正好看完，也就是说第7天能看到96页。由此往前推：第6天看到了962=48页，第5天看到了482=24页，第4天看到了242=12页。实战演练 课堂狙击1、小李、小徐和小张是同学，大学毕业后分别当了教师、数学家和工程师：小张年龄比工程师大
13、；小李和数学家不同岁；数学家比小徐年龄小。谁是教师、谁是数学家、谁是工程师？【解析】（1）小张年龄比工程师大：小张不是工程师，（2）小李和数学家不同岁：小李不是数学家，（3）数学家比小徐年龄小：小徐也不是数学家.由（2）、（3）得：小张是数学家.进一步推出小徐是教师，小李是工程师.因此，小徐是教师，小张是数学家，小李是工程师.2、一个正方体，六个面分别写上A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法，求出A、B、C相对的面的字母是什么吗？ 【解析】根据中间图和右边的图可以看出，与C相邻的有面A、B、D和E，由此可知，C的对面一定是F；根据左图和右图可以看出，与A相邻的有B、E、C，由于
14、C的对面是F，因此，F也与A相邻，所以，A的对面一定是D；由左图和中图可知，与B相邻的有A、D、C，由于C的对面是F，因此，F也与B相邻，所以，B的对面一定是E。根据分析：A的对面是D； B的对面是E；C的对面是F3、某学校为表扬好人好事核实一件事，老师找了A、B、C三个学生。A说：“是B做的。”B说：“不是我做的。”C说：“不是我做的。”这三个学生中只有一人说了实话，这件好事是谁做的？【解析】此题有A、B说的话入手，而人说的话相互矛盾，因此必有一人说了真话，根据这三个学生中只有一人说了实话，那么C说的话比为假话，因此，这件好事是C做的4、红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌
15、子上一排。甲、乙、丙、丁、戌五个人猜各包里的珠子的颜色。甲猜：“第二包紫色，第三包黄色。”乙猜：“第二名蓝色，第四包红色。”丙猜：“第三包蓝色，第五包白色。”丁猜：“第三包蓝色，第五包白色。”戌猜：“第二包黄色，第五包紫色。”结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子？【解析】甲3黄 乙2蓝 丙1红 丁4白 戌5紫 这些是正确的。 假设甲说第二包是紫是正确的，那么看戌，则戌说第二包是黄是错误的，同时他说第五包紫也是错误的（因为第2包是紫），从而戌没有说对任何一个，不合题意。 所以甲说的第二包是紫是错误的，第三包是黄是正确的。 后面的丁说第三包是蓝肯定错了，所以他说的第四包是白是正确的。 依次可以推出其他的说法。5、明明、冬冬、兰兰、静静、思思和毛毛六人参加一次会议，见面时每两个人都要握一次手。明明已握了5次手，冬冬握了4次手，兰兰握了5次手，静静握了2次，思思握了1次手。问毛毛握了几次手？【解析】毛毛一共握了3次手，分别是跟明明、冬冬和兰兰握的。思路：首先，明明五次，思思只有一次，也就是说思思这一次只是与明明握得，明明与五人各握一次，而思思已经有了一次，那么冬冬与除了思思以外的四人都握过手，所以静静的另外一次就是与冬冬
