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1、题 根研 究 探究一个截面 潜能精彩呈现广东省中小学名师工作室主持人 杨仁宽（特级教师）（此文发表于北师大高中数理化2009第8期）现行的普通高中课程标准实验教科书数学选修21中，有这样一道题目 如图，点E，F，G，H分别是空间四边形SABC的边AB，SB，SC，AC的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BC平面EFGH 此题很容易证明，这是一道看似平淡无奇，实则回味无穷的好题！本文拟对截面EFGH作点探究，挖掘出此题潜在的饶有趣味的命题，并例析此截面的广泛应用1 截面的形状首先探究截面EFGH的形状，可得下列命题1 若E，F，G，H分别是空间四边形SABC的边AB，SB，SC
2、，AC的中点，则截面EFGH是平行四边形略证 如图1，由E，F分别是AB，SB的中点，可知，2EF=SA，且EFSA同理，2GH=SA，且GHSA，从而EFGH，且EF=GH，所以EFGH是平行四边形由原题第(2)题及线面平行的判定定理，易得命题2 截面EFGH 与三棱锥的两条相对的棱平行2 推广的截面将原题中“中点”的条件放宽，就可以得到下列推广的命题3 若E，F，G，H分别是空间四边形SABC的边AB，SB，SC，AC上的点，且AE：EB=SF：FB=SG：GC=AH：HC=（），则截面EFGH是平行四边形略证 可以仿照命题1（过程从略）若逆向思考，又可以得到命题4 平行于三棱锥的两条相对
3、棱的平面，截三棱锥所得的截面是平行四边形3 将截面特殊化如果空间四边形的棱之间具有某些特殊性，则容易得到下列命题命题5 (1) 若E，F，G，H分别是空间四边形SABC的边AB，SB，SC，AC的中点，且SA=BC，则截面EFGH是菱形；(2) 若E，F，G，H分别是空间四边形SABC的边AB，SB，SC，AC的中点，且SABC，则截面EFGH是矩形；(3) 若E，F，G，H分别是空间四边形SABC的边AB，SB，SC，AC的中点，且SA=BC，SABC时，则截面EFGH是正方形如果棱SA、BC的长是定值，且SA与BC的相对位置关系已定，则有命题6 如果SA=，BC=，异面直线SA与BC所成的
4、角是，则截面EFGH的最大面积是略证 如图1，在平行四边形EFGH中，FEH=，而， ，当且仅当E为边AB的中点时，取“=”号4 用截面分体积若用截面分三棱锥的体积，则可以得到命题7 设，则当（）时，截面EFGH分三棱锥所得两部分体积之比是：=（3）：（） 简证 图1中，过F作FKSC，FK交BC于K，则EFKHCG是棱柱，BEFK是棱锥，由于=， 两式相除即得式如果让截面EFGH绕着经过相对棱的中点的连线转动，又可得到下列命题8 设F、H是三棱锥SABC的相对棱的中点，则每个含直线FH的平面必然平分此三棱锥的体积简证 在图2中，由F是SB的中点，可知，S、B到截面EFGH的距离相等，从而，现
5、证 由于 同理， 在SAB和ABC中，由Menelaus定理，有=1，=1， 由F、H是边SB、ACSB的中点，得=，由、，可得式，即 命题8成立5 利用截面解题截面EFGH在求解有关的立几题时，有广泛的应用，仅举3例说明如下51 解答高考题例1 已知空间四边形SABC中，SB=PC，AC=AB，N、F、G、H分别是边SB、SC、AC、AB的中点( 如图3) 求证：NFGH是矩形分析 由命题5（2）知，只须证明SABC设BC的中点为D，则由SB=SC，AB=AC，得SDBC，ADBC，于是BC平面SAD，而SA在平面SAD内，所以SABC例2 如图3，在三棱锥SABC中，已知SABC，SA=B
6、C=，SA与BC的公垂线段ED=求证：三棱锥SABC的体积是略证 设F，G，H，N分别是边SB、SC、AC、AB的中点，则由命题5(3)，可知，FGHN是边长为的正方形；由命题8，可知，此正方形平分三棱锥SABC的体积，其中一部分的体积是 ，于是，由此，可以解得 52 解答竞赛题例3 已知三棱锥中的对棱两两对应相等求证：对棱中点的连线段互相垂直平分，并且每一条线段所在的直线都是此三棱锥的对称轴证明 如图4，在三棱锥SABC中，AB=CS，AC=BS，AS=BC，E、F、G、H、M、N是各棱的中点，则由命题5(1)可知，EFGH是菱形，其对角线FH与EG互相垂直平分 同理，可证其余的几种情况 图
7、4于是，当三棱锥绕直线FH旋转时，点F、G、M对应地移到F、E、N，即ABC各边中点与BAS的各边中点重合 旋转之后，ABC与BAS重合，ABCS的新的位置与其原来的位置完全重合，故 线段FH所在的直线是此三棱锥的对称轴同理，线段EG、MN所在的直线也是此三棱锥的对称轴链接练习1 一个五面体的底面是边长为的正方形，上面的棱平行于底面，其长为2，其余的棱长均为求此五面体的体积2 在棱长都是的三棱锥SABC的表面上一点M处(M不在顶点)有只蚂蚁，要绕三棱锥爬行一周，每个面都恰好经过一次，最后仍回到M处，求此蚂蚁爬行的最短路线的长度链接练习参考答案 对练习1，依题意，两个同样的此五面体补成一个公用底面（如图3）的正四面体，正方形GHNF的边长为，BC=2，先容易求出此正四面体的体积，再取其一半，即为得原多面体的其体积是对练习2，如图5，过M作与相对棱平行的截面EFGH，选择图6所示的展开图(其中的ABC与在图5中重合)，连结，则容易得到即为所求
