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1、教案三龙贝格求积及高斯求积法基本内容提要1 龙贝格求积方法与李査逊外推法2 待定参数法和高斯求积公式3 高斯求积公式的余项与稳定性教学目的和要求1 掌握龙贝格求积方法与李査逊外推法的基本思想方法2 掌握待定参数法确定数值求积公式的方法3 理解构造高斯求积公式的思想，掌握利用基本的正交多项式构造高斯求积公式的过程4 了解高斯求积公式的余项与稳定性教学重点1 龙贝格求积方法2 高斯求积公式教学难点1李査逊外推法的基本思想方法2高斯求积公式的余项与稳定性课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入既然变步长求积方法的每一步都能估计出截断误差，那么将这个误差加上所求得的结果应该是
2、一个更好的近似积分值（叫做修正值），从而达到加快收敛的目的，这就是龙贝格求积方法的基本思想。3.4龙贝格求积方法与理査森外推法龙贝格求积方法的算法过程如下:T(h)uWjaS临)(计算误差并修正T%)UT(hJ=S(/?J二*C(/?2)(计算误差并修止S(/?J)UT(/?3)=S(/?3)nC(/?3)n/?(%)(计算误差并修正CdU其中，九=b-a,hi=例3.4.1利用龙贝格方法计算#使截断误差不超过0.5x10巳从上例可以看出，龙贝格积分法的计算的结果比耍求的精度高很多，且收敛速度比变步长求积方法快。该方法本质上属丁具有更广泛意义的李査逊外推法。李查逊外推法的计算公式为：G(h*)
3、=F(h*y(h*)pF(h*)-F(h)(加)一护我们看到，龙贝格求积方法正是用到李査逊外推法的原理.3.5待定参数法与高斯求积公式3.5.1待定参数法前而介绍的插值型求积公式具有形式：/（/）-e（n=EA/u,）（3.4）1=0其中求积系数由计算插值奇函数厶（X）的定积分给出，即4=x）dx.因为求积公式至少具有k阶代数精度，等价于公式的函数1,X,*來说均准确成立，由此就可以得到如下关于参数4,f=的含k+i个方程的方程组.：Aq+A+A2+An=b_aAAAb2-a2忑4。+毎人+兀人=一-7474-bCl夫0人0+XA+XnA”=2/_A+iRakakaDd兀4。+呂九+兀人=k+
4、1显然，如果则上述方程组有唯一解。把通过求解上述方程组來推导求积公式(3.4)的方法叫做待定参数法。例3.5.1推导求积公式/(/)=/Wa-Alf(xl)+A2f(x2),使其具有尽可能高的代数精度.本例主耍说明待定参数法的处理过程。3.5.2高斯求积公式推导高斯求积公式时分两步走：第一步是利用正交多项式的零点构造高斯求积公式的节点兀(常称为高斯点)；第二步利用待定参数法计算高斯求积公式中的系数A假设要计算定积分/=(”(x)/(x)dx,其中p(x)称为被积函数f(x)的权函数，一般耍求它具有非负性，即p(x)O,xea,b.如果p(x)=l,则上述积分为普通积分。假设耍推导的求积公式具有
5、形式：/(3.8)/=0定理351公式(3.8)中的节点兀，心0,1,是高斯点当且仅当多项式養+)=(X一xQ)(x-xj(x-xn)是关丁权函数p(x)的+1次正交多项式，即对所有的次数不超过的多项式P(x),有Q（WE（x）P（x）dx=O常用的高斯求积公式有1）高斯-勒让徳（Gauss-Legendre）求积公式打如土仃（兀），/=0其中高斯点xi9i=0,1,-是如下n+1次正交多项式1旷2曲（+1）!厶曲的零点系数占Pg）P32）高斯-拉盖尔（Gauss-laguene）求积公式nexf（x）dx心f人/（兀）,/=O其中的高斯点xni=0J,是如下n+1次正交多项式z/,+1的零点
6、系数.4一（处.厶;就兀）厶”（兀）3）高斯-埃尔米特（Gauss-Heimt）求积公式匚厂f（x）dx仃（兀），Y/=O其中的高斯点a;,/=0,1,是如下n+1次正交多项式Jn-H的零点.系数H；+）H“（xj4）高斯-切比雪夫（Gauss-Chebyshev）求积公式f(x)dxf=o其中的高斯点xi=0丄，儿是如下n+1次正交多项式亿+i(X)=cos(n+1)aiccosx的零点，且=cos2/+12n+23.5.3高斯求积公式的余项与稳定性定理3.5.2假设/丘(?(“),则高斯求积公式(3.8)的余项Rg=J：p(x)/(x)dx-f仃(兀)=乃+；：.P(x)心dx,其中，gw
7、(a,b).定理3.5.3高斯求积公式(3.8)中的系数&-.(/=0,1,恒非负。课堂小结布置作业参考文献1Burden.RL,FairesJD.NumencalAnanlysLS(FourthEdidon).Pnndle,Boston,WederandSchrmdt,1989.2. StoerJ,Buliirsch.R.introductiontoNumencaLAnaLysLS,SecondEdition,Spnnger-Vedag,NewYorii,1992.3. ARalston,andP.Rabinowitz,AFirstCoursemNumericalAnalysis,DoverPublication,2001.4. CuytA.,WuytackL,NonlmearMethodsinNumericalAnalysis,ElsevierSciencePublishers,B.V.,1987.5. RichardL.Burden.,J.DouglasFaires,NumencalAnalysis(SeventhEdLtion),BrooksPub.Co20016邓建中，刘之行.计算方法(笫二版).西安交通大学出版社，2001.7.韩旭里.数值分析.中南大学出版社，2003.#
