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1、2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题第四章 无穷级数一、选择题1. 若，则级数（ ） A. 收敛且和为0 B. 收敛但和不一定为0 C. 发散 D. 可能收敛也可能发散2. 下列级数发散的是（ ） A. B. C. D. 3. 设无穷级数收敛，则在下列数值中的取值为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则级数的收敛半径等于（ ） A. B. C. D. 5. 幂级数的收敛区域是（ ） A. B. C. D. 6. 设幂级数在处收敛，则该级数在点处（ ） A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 可能收敛也可能发散7. 无穷级数的和为（ ） A. B. C. D. 8.
2、展成的幂级数是（ ）A. B. C. D. 二、填空题1. 若级数收敛于，则级数收敛于 2. 设为常数,若级数收敛，则 3. 部分和数列有界是正项级数收敛的 条件 4. 若级数收敛，则的取值范围是 5. 若级数条件收敛，则级数的敛散性为 6. 幂级数的收敛半径为 7. 设幂级数的收敛半径为，则级数的收敛区间为 8. 三、解答与证明题1证明级数收敛并求其和2判断下列级数的敛散性（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （4）；（7）；（8）； （9）；（10）3下列级数哪些是绝对收敛的？哪些是条件收敛的？（1）； （2）； （3）4求下列幂级数的收敛半径和收敛域（1）； （2）；（3）5
3、求级数的收敛域并求和6利用已知展开式展开下列函数为的幂级数并确定收敛域（1）；（2）；（3）2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题第四章参考答案一、选择题1. D； 2. C ； 3. A； 4. C； 5. A； 6. A； 7. B； 8. C二、填空题1.； 2.； 3.充要；4.；5.发散；6.； 7.； 8.三、解答与证明题1 2（1）因，由级数的收敛的必要条件，该级数发散或者 由于，且发散，故由比较判别法，该级数发散（2）由于，且收敛，故由比较判别法，该级数收敛（3）由于，且发散，故由比较判别法的极限形式，该级数发散（4）由于，且收敛，故由比较判别法，该级数收敛（5），故
4、由比值判别法（达朗贝尔判别法），级数收敛（6），则由比值判别法，该级数发散（7），故由比值判别法，该级数发散（8）由于，故由根值判别法（柯西判别法），该级数收敛（9），故由根值判别法，该级数收敛（10）由于，且，根据两边夹法则知，故，由根值判别法，该级数收敛3（1）这是交错级数，又，由莱布尼兹判别法知故原级数收敛因取绝对值后的级数通过比较判别法易知其发散，故原级数条件收敛；（2）各项取绝对值后得级数，因，及级数收敛，由比较判别法知级数收敛，所以原级数绝对收敛（3）各项取绝对值后得级数，对此正项级数用比值审敛法，有，故级数收敛，所以原级数绝对收敛4（1）， 于是该级数的收敛半径为，收敛区间为当时，该级数为，括号内是调和级数，发散，当时，该级数为，这是交错级数，满足莱布尼兹判别法收敛条件，故收敛所以该级数的收敛区间为；（2）， 于是该级数的收敛半径为，则该级数仅在处收敛；（3）， 于是该级数的收敛半径为，收敛区间为当时，幂级数成为，是发散的； 当时，幂级数成为，是发散的因此收敛域为5，则由达朗贝尔判别法，当时，级数收敛；当时，级数发散，因此收敛半径因时，得与，根据莱布尼兹判别法，这两个数项级数都收敛，故收敛域为设，由幂级数的性质，有 ， ，6（1），（2） ，（3） ，1
