《高考数学对接演练——立体几何(理).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学对接演练——立体几何(理).doc（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 立体几何（理）高考对接演练在高考数学试题中，立体几何（理）解答题一般位于高考数学解答题（第三大题）前4题的位置，以证明题和计算题为主，难度为中档题。基本题型是：在具体背景下，第（）小题是证明线、面关系（包括线面平行、线先垂直、线面垂直、面面垂直）；第（）小题是求角（包括线面角、二面角）或距离（主要是点到平面的距离）。 试题涉及的知识点有：平面的基本性质（三个公理和三个推论）、空间点、线、面的关系；直线和平面平行的判定与性质；平面和平面平行的判定与性质；直线和平面垂直的判定和性质；平面和平面垂直的判定和性质；空间角（包括两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角）；空间距离（主要是点到直
2、线的距离）；空间向量及其应用。立体几何（理）高考对接演练【例1】（2007山东）如图，在直四棱柱中,已知，.（）设E是DC的中点，求证: ;（）求二面角的余弦值.【解】（）连结BE，则四边形DABE为正方形，且，为平行四边形，.，（）以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设DA = 1，则设为平面的一个法向量，由得：，取z = 1，则. 设为平面的一个法向量，由得：， 取，则.设二面角的的大小为，由于为锐角，则【例2】（2012青岛一模）如图，在梯形ABCD中，四边形ACFE为矩形，平面平面ABCD，CF = 1.（1）求证：平面ACFE；（2）点M在线段EF上运
3、动，设平面MAB与平面 FCB所成二面角的平面角为，试求的取值范围.【解】（1）证明：在梯形ABCD中， 因为，ABC，所以AB = 2. 由余弦定理得：所以 所以BCAC 因为平面ACFE平面ABCD，平面ACFE平面ABCD = AC，BC平面ABCD 所以BC平面ACFE. （2）由（1）可建立如图所示空间直角坐标系。令，则，所以 设为平面MAB的一个法向量，由 ， 联立得： ，取x = 1，则， 易知是平面FCB的一个法向量所以 因为 所以当时，有最小值， 当时，有最大值. 所以 【例3】（2012青岛二模）如图，在多面体中， 四边形是 正方形，AC = AB =， ，.（）求证：面；
4、（）求二面角的余弦值的大小.【解】（）取BC的中点E，连结AE，因为，所以，所以四边形为平行四边形， 从而，因为， 所以。 因为，所以 因为四边形为平行四边形，所以 且又因为是正方形，所以 且，故为平行四边形，所以。因为，所以。因为 ，所以，又，所以。 （）因为四边形为正方形，所以, ，所以，因为，所以 由勾股定理可得：，所以 ，因为，所以面ABC ，因为，所以由勾股定理可得：，所以 故以A为原点，以AC为x轴建立坐标系如图，则，所以，.设面的法向量为，由，令z = 1，则设面的法向量为，则则，令k = 1，则 设二面角的平面角为, 则 【例4】如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD
5、，PA底面ABCD，PA = AD = CD = 2AB = 2，M为PC的中点。（）求证：BM平面PAD；（）在平面PAD内找一点N，使MN平面PBD；（）求直线PC与平面PBD所成角的正弦。【答案】（）因为M是PC的中点，取PD的中点E，则，又所以四边形ABME为平行四边形，所以BM，而，所以BM （）以A为原点，以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则，在平面PAD内，设，则，易知：，由， 所以，得： 由 所以 ，得： 所以，于是N是AE的中点，此时。 （）设直线PC与平面PBD所成的角为，设，则 于是 故直线PC与平面PBD所成角的正弦为. 【例5】（2
6、011 山东 19）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，平面ABCD， EF/AB，FG/BC，EG/AC，AB = 2EF（）若M是线段AD的中点，求证：GM/平面ABFE；（）若，求二面角的大小【解】（）由四边形ABCD为平行四边形， ，EA平面ABCD，可得以A为坐标原点，AC，AD，AE所在直线分别为轴建立直角坐标系，设，则,xyz.由EG/AC可得: ，由FG/BC可得: ，则，而平面ABFE，所以GM/平面ABFE；（）若，设，则， ,则，设分别为平面ABF与平面CBF的法向量则，令，则，即； 又有，令，则，即。于是，则，设二面角的大小为，由题意知：故二面角的大小为。
7、 【例6】（2012潍坊二模）如图，斜三棱柱ABCA1B1C1， 侧面BB1C1C底面ABC，BC1C是等边三角形，（1）求证：；（II）设D为BB1的中点，求二面角DACB的余弦值.【解】（1）因为侧面BB1C1C底面ABC， ， 且，所以，而，xyz所以。 （II）依题意，建立如图所示空间直角坐标系，则 C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0）， ， 从而有， 易知平面BAC的法向量为， 设平面DAC的法向量为，则且，即，解得：，取，得：。设二面角DACB的大小为，则。 【例7】如图，斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面 成角，底面是边长为2的正三角形，其重心为G点，E在线段上，
8、EA G B C H （）求证：侧面（）求平面与底面所成的锐二面角的余弦。 EA G B C H xyz【解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，则有 ， 。 从而有：，. 于是有：，而, 所以，即，又，所以（）易知底面ABC法向量为，设平面的法向量为，则有，即，取，则，。所以。平面与底面ABC所成的锐二面角为，则 . 【例8】（2011 上海）已知正四棱柱的的底面边长为1，点F在侧棱上，,且平面FBD与底面ABCD所成的锐二面角为。（）求正四棱柱的侧棱长；（）求异面直线FB与DC之间的距离；（）求三棱锥的体积。xyz【解】（）建立如图所示空间直角坐标系，则有： 设CF = ，则。 易知底面AB
9、CD的法向量为。 设平面FBD的法向量为，则，即，取，则，所以。 由已知：，即，求得：。所以。 设正四棱柱的测棱长为b，则，从而。 因为，所以，求得：。 （）异面直线FB与DC之间的距离。 （）. 【例9】（2008安徽）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。【解】【方法一：几何法】（）证明：取OB中点E，连接ME，NE又 （） ， 为异面直线AB与MD所成的角作连接MP. ，所以AB与MD所成角的大小为（），所以点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作 于点Q，又
10、，于是线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离， ， 所以点B到平面OCD的距离为【方法二：向量法】作于点P，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系 （） 设平面OCD的法向量为，则即 取，解得 （）设AB与MD所成的角为, ，Ab与MD所成角的大小为（）设点B到平面OCD的交流为d，则d为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为【例10】已知在四棱锥中，底面ABCD是矩形，且AD = 2，AB = 1， 平面ABCD， E、F分别是线段AB、BC的中点（）证明：；（）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD；（）若PB与平面ABCD所成的角为，
11、求二面角 的余弦值【 解】（）由 平面ABCD，AD = 2，AB = 1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 不妨令，因为，所以，即（）设平面PFD的法向量为，由，得，令z = 1，解得： 设G，而，则，要使EG平面PFD，只需，即，得，从而满足的点G即为所求 （），是平面PAD的法向量，易得 又平面ABCD，是PB与平面ABCD所成的角，得，PA = 1，平面PFD的法向量为 ，故所求二面角的余弦值为 【例11】（2009 山东高考）如图，在直四棱柱ABCDABCDE A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB = 4， BC = CD = 2， AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。（）证明：直线EE/平面FCC；（）求二面角BFCC的余弦值。【解法一】（）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，连接A1D，C1F1，CF1，因为AB = 4，CD = 2，且AB/CD，所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1/A1D，又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1/A1D，所以CF1/EE1，又因为平面FCC，平面FCC，所以直线EE/平面FCC.（）因为
