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1、133第五章 差分方程模型在第四章中，我们利用微分方程方法研究了一些连续变化的变量。如果将变量离散化，即可得到相应的差分方程模型，为了方便不熟悉差分方程的读者，先对本章用到的差分方程的知识作一简略介绍。5.1差分方程简介一、差分方程及其通解以表示时间，规定只取非负整数。表示第一周期初，表示第二周期初等。记为变量在时刻时的取值，则称为的一阶差分，称为yt的二阶差分。类似地，可以定义yt的阶差分。由、及的差分给出的方程称为差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程也可改写成。满足差分方程的序列称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，
2、若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，则称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解，例如，考察两阶差分方程： 易见与均是它的特解，而则为它的通解，其中，为两个任意常数。类似于微分方程，称差分方程 （1）为阶线性差分方程，当时称其为阶非齐次线性差分方程，而 （2）称为方程（1）对应的齐次线性差分方程。若（1）中所有的均为与无关的常数，则称其为常系数差分方程，即阶常系数线性差分方程可写成 （3）其对应的齐次方程为 （4）容易证明，若序列与均为方程（4）的解，则也是方程（4）的解，其中，为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个线性空间（解空间）。若是方程
3、（4）的解，是方程（3）的解，则也是方程（3）的解。方程（3）可用如下的代数方法求其通解：（步一）先求解对应的特征方程 （5）（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方程（4）的通解。 情况1 若特征方程（5）有个互不相同的实根，则齐次方程（4）的通解为 (，为任意常数)情况2 若是特征方程（5）的重根，通解中对应于的项为， （）为任意常数。 情况3 若特征方程（5）有单重复根，通解中对应于的项为，其中，为任意常数，为的模，为的幅角。情况4 若为特征方程（5）的k重复根，则通解对应于的项为， （）为任意常数。（步三） 求非齐次方程（3）的一个特解。若为方程（4）的通解，则非齐次方程（3）的通解为。
4、求非齐次方程（3）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的b(t)也可使用待定系数法。例如，当，为的次多项式时可以证明：若不是特征根，则非齐次方程（3）有形如的特解， 也是的次多项式；若是重特征根，则方程（3）有形如的特解。进而可利用待定系数法求出，从而得到方程（3）的一个特解。例 求解两阶差分方程。解 对应齐次方程的特征方程为，其特征根为，对应齐次方程的通解为： 原方程有形如的特解。代入原方程求得，故原方程的通解为：二、差分方程的平衡点及其稳定性在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。1、 一阶线性常系
5、数差分方程 （6）在（6）式中令得到的代数方程的根称为差分方程（6）的平衡点。如果时，则称平衡点是稳定的，否则是不稳定的。由（6）式得: （7）即方程（6）的解可表为 （8）其中由初始值确定。显然，由（8）式可知差分方程（6）的平衡点稳定的充要条件是 | a | 1 （9）顺便指出，对于维向量x(k)和常数矩阵A构成的方程组 x( k+1) + Ax( k ) = 0 （10）其平衡点稳定的条件是A的特征根（）均有 （11）即均在复平面上的单位圆内。这个结果可由将化为对角阵（或Jordan）阵得到。2、二阶线性常系数差分方程， （12）考察方程（12）的平衡点（0）的稳定性，设（12）的特征方
6、程的根为，则不难验证，（12）的通解可表为 （13）其中常数，由初始条件，确定。由（13）知，当且仅当 ， （14）时方程（12）的平衡点才是稳定的。3、 非齐次线性差分方程 （15）方程（15）的平衡点的稳定性和方程（12）相同。 二阶方程的上述结果可以推广到阶线性方程，即稳定平衡点的条件是特征根次代数方程的根（）均有。 4、一阶非线性差分方程 (16)方程（16）的平衡点由代数方程解出。为分析的稳定性，将方程（16）的右端在点作Taylor展开，只取一次项，（16）近似为 (17)（17）是（16）的近似线性方程，也是（17）的平衡点。关于线性方程（17）的稳定平衡点的讨论已由（6）（9）
7、给出，而当时方程（16）与（17）平衡点的稳定性相同。于是得到当 （18）时，非线性方程（16）的平衡点是稳定的；当 （19）时，非线性方程（16）的平衡点是不稳定的。5.2市场经济中的蛛网模型问题 在自由贸易市场上常会出现这样的现象：一个时期以来当某种消费品如猪肉的上市量远大于需求时，由于销售不畅致使价格下跌，生产者发现养猪赔钱，于是转而经营其它农副业。过一段时间猪肉上市量就会大减，供不应求将导致价格上涨。生产者看到有利可图，又重操旧业，这样下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面。商品数量和价格的这种振荡现象在自由竞争的市场经济中常常是不可避免的。进一步观察可以发现，振荡有两种完全不同的形
8、式，一种是振幅逐渐减小，市场经济趋向平稳，另一种是振幅越来越大，如果没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃。试建立数学模型描述这种现象，研究经济趋向平稳的条件，并讨论当经济趋向不稳定时政府可能采取的干预措施。蛛网模型 商品在市场上的数量和价格出现反复的振荡，是由消费者的需求关系和生产者的供应关系决定的。记商品第时段的上市数量为，价格为。这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期。同一时段商品的价格取决于数量，设 （1）它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数。因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下降曲线表示它，称需
9、求函数。 下一时段商品的数量由上一时段价格决定，设 ，或 （2）这里是的反函数。或反映生产者的供应关系，称供应函数。因为价格越高生产量（即下一时段的商品数量）越大，所以在图中供应曲线是一条上升曲线。 图中两条曲线相交于点。是平衡点，其意义是，一旦在某一时段有，则由（1），（2）可知，即以后各时段商品的数量和价格将永远保持在点。但是实际生活中的种种干扰使得数量和价格不可能停止在点，不防设偏离（如图1）。我们分析随着的增加，的变化。yfgyfg0xP0P1P2P3P4图1 需求曲线 f 和供应曲线 g , P0是稳定平衡点图2 P0 是不稳定平衡点xx1x3x0x20y0y1y2P1P0P2P3P
10、4商品数量给定后，价格由曲线上的点决定，下一时段的数量由曲线上的点决定，又由曲线上的点决定，这样得到一系列的点，在图1上这些点将按箭头所示方向趋向，表明是稳定的平衡点，意味着市场经济（商品的数量和价格）将趋向稳定。但是如果需求函数和供应函数由图2的曲线所示，则类似的分析发现，市场经济将按，的规律变化而远离，即不是稳定的平衡点，意味商品数量和价格将出现越来越大的振荡。图1和图2中折线形似蛛网，所以这种用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称蛛网模型。实际上，需求曲线和供应曲线的具体形式通常是根据各个时段商品的数量和价格的一系列统计资料得到的。一般地说，取决于消费者对这种商品的需
11、要程度和他们的消费水平，则与生产者的生产能力、经营水平等因素有关。比如当消费者收入增加时，会向上移动；当生产能力提高时，将向右移动。一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，商品数量和价格是否趋向稳定，就完全由这两条曲线在平衡点附近的形状决定。只要分析一下图1和图2的不同之处就会发现，在附近，图1的比平缓，而图2的比陡峭。记在点斜率的绝对值（因为它是下降的）为，在点的斜率为，图形的直观告诉我们，当 （3）时是稳定的（图1），当 （4）时是不稳定的（图2）.由此可见，需求曲线越平，供应曲线越陡，越有利于经济稳定。为了进一步分析这种现象，下面给出蛛网模型的另一种表达形式差分方程。 差分方程模型 在点附近可以用直线来近似曲线和，设（1），（2）式分别近似为 ， （5） ， ， （6）从二式中消去可得 （7）（7）是一阶线性常系数差分方程，对递推不难得到 ， （8）容易看出，当，时，即点稳定的条件是 或 （9）当，时，即点不稳定的条件是 或 （10）注意到（5），（6）式中的定义，有，,所以条件（9），（10）与蛛网模型中的直观结果（3），（4）式是一致
