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1、中点想到的辅助线在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。 一、三角形的一条中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形 即如图1，AD是ABC的中线，则SABD=SACD= SABC（因为ABD与ACD是等底同高的）。例1如图2，ABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中线。已知ABC的面积为2，求：CDF的面积。 解：因为AD是ABC的中线，所以SACD= SABC= 2=1，又因CD是ACE的中线，故SCDE=SA
2、CD=1，因DF是CDE的中线，所以SCDF= SCDE= 1= 。 CDF的面积为 。 二、由中点应想到利用三角形的中位线 例2如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：BGE=CHE。 证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF， ME是BCD的中位线， ME CD， MEF=CHE， MF是ABD的中位线， MF AB， MFE=BGE， AB=CD， ME=MF， MEF=MFE， 从而BGE=CHE。三、由中线应想到延长中线，使延长的部分等于中线长 例3如图4，已知ABC中，AB=5，AC=3，连B
3、C上的中线AD=2，求BC的长。 解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=22=4。 在ACD和EBD中， AD=ED，ADC=EDB， CD=BD， ACDEBD， AC=BE， 从而BE=AC=3。 在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90， BD= = = ，故BC=2BD=2 。 例4如图5，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。 证明：延长AD到E，使DE=AD。 仿例3可证：BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2， 1=E， AB=EB，从而AB=AC，即ABC是等腰三角形。 四、由直角三角形应
4、想到它的斜边中线的性质 例5如图6，已知梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求证：AC=BD。 证明： 取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtABD，RtABC斜边AB上的中线，故DE=CE= AB，因此CDE=DCE。 AB/DC， CDE=1，DCE=2， 1=2， 在ADE和BCE中， DE=CE，1=2，AE=BE， ADEBCE， AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。 五、由平分一个角且与一条线垂直的线段，应想到该线段是某个等腰三角形的中线 例6 如图7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，BD平分ABC交AC于点D，CE交BD的延长
5、线于点E。求证：BD=2CE。 证明：延长BA，CE交于点F，在BEF和BEC中， 1=2，BE=BE，BEF=BEC=90， BEFBEC， EF=EC，从而CF=2CE。 又1+F=3+F=90，故1=3。 在ABD和ACF中， 1=3，AB=AC，BAD=CAF=90， ABDACF， BD=CF， BD=2CE。 注：此例中BE是等腰BCF的底边CF的中线。与中点有关的辅助线作法例析安徽省利辛县教育局督导室夏飞线段的中点是几何图形中的一个特殊点在解决与中点有关的问题时，如果能适当地添加辅助线、巧妙地利用中点，则是处理中点问题的关键但由于含有中点条件问题的辅助线的作法灵活，不少同学难以掌
6、握。下面就针对中点问题举例谈谈几种添加辅助线的方法一、遇到中点找中点这种方法常用于解决三角形和梯形的有关问题，主要是连接两个中点作中位线，并利用其性质因此，在三角形中，已知三角形两边中点，连结两个中点，即可构造三角形的中位线；在梯形中，已知梯形两腰中点，连结两个中点，即可构造梯形的中位线例1：如图1，E、F分别为BC、AD的中点，射线BA、EF交于点G，射线CD、EF交于点H求证：分析：连接AC，并取其中点P，构造PEF，证明，再利用中位线的性质即可得证证明：连接AC，取AC的中点P，连接PE、PFE为BC的中点，PEAB，同理PFCD，由PEAB ，得，由PFCD，得说明：已知三角形一边的中
7、点或梯形一腰的中点，常过中点作中位线二、遇到中点作中线这种方法常用于解决直角三角形或等腰三角形的有关问题，主要是运用直角三角形斜边上的中线或等腰三角形底边上的中线性质因此，遇到直角三角形斜边上的中点或等腰三角形底边上的中点，应联想到作中线例2：如图2，ABC中，AD为高，E为BC的中点，求证：分析：在ABC中，出现了RtADC和RtADB这两个直角三角形；又因为E为BC的中点，即题目中有中点与直角三角形的条件按照“遇到中点找中点”的方法，可取RtADC斜边AC的中点F（或AB的中点），连接EF，即得ABC的中位线；再依据“遇到中点作中线”的方法，连接DF，即得到RtADC斜边AC上的中线，然后
8、只要证明即可证明：取AC的中点F，连接EF、DFE、F分别为BC、AC的中点，EFAB，AD是高，ADC是直角三角形又F为斜边AC的中点，由EFAB，得又，说明：若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三角形底边的中点，则应常想到作中线三、遇到中点倍长线段这种方法是指：若图中出现由中点引出的线段，则应常想到成倍延长这一线段，可为解题提供更为广阔的思路 例3：如图3，在ABC中，已知D为BC边中点，FDED于点D，交AB、AC于点F、E求证： 分析：待证的线段BF、CE、EF之间没有明显关系。但点D是BC边的中点，故应考虑倍长ED（倍长FD也可）到点G，连结BG、FG，则：BGDCED，所以，又因为
9、FDED ，则，这样就把BF、CE、EF转移到了BFG中，再利用三角形三边关系即可证得结论 证明：延长ED到G，使 点D是BC边的中点， 又， BGDCED， ； 在FGE中， ，FDED， 在FGE中， 说明：“倍长线段”法在解题过程中有着很重要的作用，通过倍长相应的线段，再结合相应的条件可得到全等三角形，从而可转移边、角但须注意它的使用前提是已知条件中存在着线段的中点 四、遇到中点，且结论为比例式时，常过中点作平行线在解决有些几何问题中，尽管遇到了中点，但要证明的结论是比例式，此时可考虑过中点作平行线例4：如图4，过ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F、E求证：分析：A
10、D是中线，则D为BC的中点，要证明的结论为比例式，且AE、ED又不在一个三角形内，为此，可过D点作DMAB，可知DM是BFC的中位线则有同时又可证得AEFDME，则有，接下去利用等量代换即可证得结论成立 证明：过点D作DMAB交CE于M，则：，DMAB，DM是BCF的中位线，在AEF与DME中，AEFDME，即注：此例也可按照“遇到中点找中点”的方法，取FC的中点M，然后连接DM说明：中点是图形中的特殊点，中线、中位线是三角形中的特殊线段，在解题中，如果能灵活运用与它们相关的性质，巧作辅助线，可使许多问题迅速得到解决 五、遇到线段垂直平分线上的点，则常将这一点与线段的端点连接起来由于“线段垂直
11、平分线上的点，到线段两端点的距离相等”，所以可根据这一性质定理，若遇到线段垂直平分线上的点，则常将这一点与线段的端点连接起来，往往可使问题变得简便，从而顺利证得结论成立例5、如图5，设P是等边ABC的BC边上任一点，连接AP，作AP的中垂线交AB、AC于M、N求证：分析：连接PM、PN因为MN是AP的中垂线，所以，则MPNMAN，于是有又由于，可得：，于是有BPMCNP，于是可证得证明：连接PM、PN在MPN与MAN中，MN是AP的中垂线，MN是公共边，MPNMAN（SSS），又，BPMCNP，从上述几例含有中点条件的问题可以看出，在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，或题中已知条件出现了中点与其它条件的组合，则要由中点联想到作三角形的中线、中位线，或加倍延长线段等方法添加辅助线，然后依据相关性质，通过探索，即可迅速找到解决问题的途径或方法
