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1、习题11-1 1. 计算下列曲线积分：（1），其中是曲线从原点到点的一段弧；（2），其中为上从到的一段弧；（3），其中为圆周（）、直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；（4）,其中为圆周（）；（5），其中为曲线上从到间的一段弧；（6），其中为双纽线（）；（7），其中为螺旋线（）上相应于从变到的这段弧；（8）,其中曲线为球面与平面的交线.解 （1） 曲线由方程（），所以 令 ；（2）曲线可分为两段和，所以 ；（3）曲线可分为三段 ，（） （） ，（） 所以 ；（4） 曲线极坐标方程为： （） 所以 ；（5） ， ；（6）由于被积函数是关于、关于的偶函数，积分曲线又分别是关于轴、关于轴对称，
2、设是在第一象限的部分，所以 的极坐标方程为 （）， ， ；（7） ；（8）设圆的参数方程为 （） 2. 计算曲线积分，其中积分曲线为椭圆，其周长为.解 因为是关于对称，且关于变量的奇函数，所以 在上有，则有 .3. 计算曲线积分，其中曲线为与的交线.解 因为为圆心在原点半径为的圆周，且关于、具有轮换对称性，所以有 ， .4. 计算圆锥螺旋线，（）从点到点的弧长.解 故弧长 .习题11-2 1. 计算下列曲线积分：（1），其中为抛物线从点到；（2），其中为圆周（）及轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界，取逆时针方向；（3），其中为以、为顶点的三角形正向边界曲线；（4），其中为圆周，沿逆时针方向
3、；（5），其中为曲线上从到；（6），其中是从点到的一段直线；（7），其中为螺旋线，上从点到的一段弧；（8），其中为曲线与的交线，从轴正向看，是逆时针方向.解 （1）；（2）曲线可分为两段、，（从到） （从到） ；（3）直线段的方程为：，从到， 直线段的方程为：， 从到， 直线段的方程为：， 从到， ；（4）圆的参数方程为： 从到 原式 ；（5）曲线的方程为： ；（6）直线段的对称式方程为：，参数方程为 从到 ；（7） ；（8）曲线的参数方程为 从到原式 2. 把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中为沿抛物线从点到点.解 上任意一点处的切向量为，故 ， ，则有 3. 设为曲线上相应于从变到
4、的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分.解 空间曲线弧上任意一点处的切向量为，故切向量的方向余弦为 ， ， ，于是 .4. 证明：曲线积分有估计式 ，其中为积分路径的长度，.证 设曲线上任一点处的切向量的方向余弦为、，则有两类曲线积分之间的关系，得 .习题11-31. 利用格林公式计算下列曲线积分：（1），其中是区域的正向边界曲线；（2），其中是沿圆周正向闭路；（3），其中以、为顶点的三角形的正向闭路；（4），其中是曲线，所围区域边界正的向；（5），其中是从原点到点，在到有向折线段；（6），其中是由点至点的上半圆周的一段弧；（7），其中为抛物线 上由点到点的一段弧 .解 （1）这里，
5、设所围成的闭区域是，由Green公式，得 原式 则 所以 ， 即 原式；（2）这里，设所围成的闭区域是，由Green公式，得 原式 ；（3）如图11-1所示，线段、的方程分别为、，由Green公式 原式 ； （图11-1） （图11-2）（4）圆，的极坐标方程分别为，由Green公式，得 原式；（5）这里，不是闭曲线，添加有向线段（从到），设其所围成的闭区域是，由Green公式，得 原式 ；（6）这里，不是闭曲线，如图11-2所示添加有向线段（从到），设其所围成的闭区域是，由Green公式，得 又 所以 原式；（7）这里，设，如图11-3所示添加辅助直线段（从到），（从到），由Green公式，
6、得 故 原式. （图11-3）2. 利用曲线积分计算下列曲线围成的图形的面积：（1）星形线，；（2）旋轮线，（）与轴所围区域的面积.解 （1） ;（2）如图11-4所示 （图11-4）3.计算曲线积分，其中分别为：（1）圆周，沿逆时针方向；（2）闭曲线，沿逆时针方向.解 （1），、在原点不连续，围成的区域不包含原点，由Green公式，得 ； （2）围成的区域包含原点，选取充分小，在所围成的闭区域内作圆周，取顺时针方向，如图11-5所示，即与围成区域为，由Green公式，得 即 . （图11-5） （图11-6）4. 计算曲线积分，其中为自点至点的线段之下的任意有向光滑曲线段，且该曲线与线段所围
7、图形面积为.解 添加线段、，则构成闭曲线，设其所围成的闭区域为，如图11-6所示则所求积分 .习题11-41. 设为连续可微函数且为逐段光滑的闭曲线，证明： .证 由，且可微函数 ，由于 所以 .2. 证明只与的起点和终点有关，而与所取路径无关，其中为半面中的曲线，并求.证 , , ,因此 曲线积分与所取路径无关.不妨取积分路径：自 到 ，再到.3. 计算下列曲线积分：（1），其中为旋轮线，从点 到点；（2），其中是过点、的圆周从点至在到的一段. 解 （1）, ,由于,所以曲线积分与路径无关，可取路径为到，再到的有向折线段，故 原式 ；（2），由于 所以曲线积分与路径无关，取积分路径为从到再到
8、的折线段故 原式 . 4. 验证下列在整个面内是某个二元函数的全微分，并求这样一个函数：（1）；（2）;解 （1），由于 所以在面内是某个二元函数的全微分，且 ；（2），由于 所以在面内是某个二元函数的全微分，且 ；5. 选取使为函数的全微分，并求函数.解 , , ,由题意 ，得 ，解得 ，由于，所以积分与路径无关，可取积分路径为从到，再到的有向折线段， （）. 6. 当时，连续且可微，对半平面上的任一闭曲线，有 求，并计算，为从到的弧段.解 ， ，由题意，得整理，得 ，这是一个一阶线性微分方程，可解得 （为任意常数）由得 ，所以 ，由于，所以积分与路径无关，可取积分路径为从到，再到的有向折线段，所求积分 .7. 判别下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解：（1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.解 （1）记, 因为，所以这是全微分方程将原方程重新组合，得 所以微分方程的通解为 （为任意常数）；（2）记, ，因为，所以这是全
