《1.1.2 余弦定理1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1.1.2 余弦定理1.docx（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、余弦定理教学设计一、 教学目标知识与技能：了解用几何法和向量法证明余弦定理的过程，理解余弦定理的内容和实质，并能运用余弦定理解三角形。过程与方法：引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般，归纳出余弦定理，培养学生的创新意识，体会用向量作为数形结合的工具。情感态度与价值观：通过师生、生生之间的交流、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，给学生带来成功的体验。二、 教学重难点重点：探究和推导余弦定理的过程，理解并掌握余弦定理的内容。难点：利用向量法证明余弦定理以及余弦定理的灵活运用。三、 教学内容分析本节课是人教B版普通高中课程标准必修五第一章1.1.2余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角
2、形边与角之间的一个定理。通过利用向量的数量积方法和几何法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，实现了边角的转换，从而使三角与几何有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状提供了重要的依据。进一步运用余弦定理解决一些实际问题，使学生能更深地体会数学与实际生活的紧密联系。四、 学情分析在学习本课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及利用正弦定理进行解三角形。在这个基础上，教师创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的例子，学生发现，用之前学的正弦定理已经不能解决这类问题，进而引出本课的余弦定
3、理。五、 教学过程活动一：1复习设疑导入： 正弦定理：（其中为三角形外接圆的直径） 应用：1）已知任意两角及一边 2）已知任意两边及一边对角 3）判断三角形形状2下面三个三角形，哪个可以用正弦定理来解三角形，哪个不能？并说明理由ACBaACBabACBab学生不难发现前两个三角形可以用正弦定理来解三角形，第三个三角形不行。活动二：导入新课几何法：在上述第三个三角形中，已知两边和夹角，怎么表示第三条边呢？教师鼓励学生积极思考，启发学生解决问题，学生回答，借助多媒体动画演示结果当C为锐角时aACBbD当C为钝角时，由学生仿照上面锐角的情况自己推导。当C为直角时，上述推导公式是否还成立？学生思考，讨
4、论得出结论从而得出：勾股定理是余弦定理的特例， 余弦定理是勾股定理的推广。同理：向量法：同理：学生由以上方法总结出余弦定理及公式：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。公式：如果把cosA、cosB、cosC放到等式的一侧得出：根据余弦定理的公式，我们能够看出利用余弦定理能够解决哪些类型的三角形？余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。活动三：探究一：利用余弦定理解三角形例1：在ABC中，已知：a=5，b=4，C=120，求c边变式：在ABC中，已知：a=2，b=3
5、，c=19，求C找学生黑板板演，其他学生在下面做，教师点播，然后纠正书写规范。让学生真正体会到学习余弦定理的必要性，同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形，学会“正向”及“逆向”使用公式。探究二：利用余弦定理判断三角形的形状例2：已知ABC，三边之比为7:2:1，求最大的内角，并判断三角形的形状。变式1：在ABC中，a=4，b=5，c=6，试判断三角形的形状。变式2：在ABC中，a2b2+c2，试判断三角形的形状。这样的设计使学生感觉到余弦定理的推论是解题的需要，即变形后解决有关“已知三边，解三角形”的问题更直接；借助推论的表达式可以清楚地看到其中蕴含的边角的
6、互化关系。学生小组讨论：什么因素决定了一个三角形的形状？学生讨论，教师指点解惑。三角形中最大的角决定了三角形的形状。由大边对大角找出最大的角。归纳：已知三边，如何判断一个三角形的形状？三边同时出现，先确定最大的边，设a边为最长的边，则b2+c2-a20ABC是锐角三角形b2+c2-a2=0ABC是直角三角形探究三：利用余弦定理进行边角之间的转换例3：在ABC中，bcosA=acosB，利用余弦定理来判断三角形的形状。变式：在ABC中，acosA=bcosB，利用余弦定理来判断三角形的形状。教师提问：这两道题用除了用余弦定理来判断三角形的形状，还可以用其他方法吗？比较两个方法。学生可以利用上节课
7、所学的正弦定理来解决问题，并比较正、余弦定理哪个比较简洁方便。探究四：利用余弦定理来解决实际问题例4：甲船在海上A处发现了乙船在北偏东45，且与A相距10海里的C处，并且以20海里/时的速度向南偏东75的方向航行。已知甲船的速度为203海里/时，问：甲船沿什么方向，用多长时间可以追上乙船？学生讨论并指出三角形中已知条件。活动四：课堂反思总结问题：从知识、思想、方法等不同角度回顾一下这节课有何收获？ 知识要点：（1）余弦定理及其推论 （2）余弦定理的作用 （3）余弦定理的结构特点 六、课后巩固提高1、 已知a=3，b=7，B=30，求c边。2、 在ABC中，如果sinA：sinB：sinC=5:
8、6:8，求此三角形最大内角的余弦值。3、 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a2+b2-c2=3ab，求C4、 已知ABC的周长为20，A=30，a=7，求ABC的面积。5、 在ABC中（a+b+c）（b+c-a）=3bc，且sinA=2sinBcosC，试判断ABC的形状。七、 教学反思本课中，立足于两种方法：几何法与向量法来推导余弦定理公式，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、分析问题、解决问题、归纳总结的过程，学生自主推导出余弦定理，切身感受了余弦定理的来龙去脉，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。 余弦定理的应用是本节教学的重要部分。例题的选择和讲解是学习本节课的重要部分。例1是余弦定理的简单应用，目的在于巩固余弦定理知识，加深对定理的理解；例2是利用余弦定理的灵活运用判断三角形的形状，通过例2的训练，使学生更灵活地应用余弦定理，使定理的应用提高到了新的高度；通过例3两种方法的比较，加深了对正、余弦定理的理解，体现了两者的联系，训练了学生从多角度、多方面思考问题的习惯。例4将余弦定理与实际紧密结合，学生能够从实际问题中构建出数学模型，将学习数学的真正意义体现了出来。
