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1、考试题一、求证:中有无穷多个平方数.二、求所有函数,在零点连续,且三、如果素数p和自然数n满足,证明: 四、设ABCD为凸四边形,AC交BD于P.的内心依次为.求证:四点共圆当且仅当ABCD有内切圆.一、 求证:中有无穷多个平方数.引理: 有无穷多组正整数解.证明:首先有.令.设(u,v)是的一组正整数解,则若.令 ,则=显然.,故由无穷多组正整数解.引理得证. 取足够大的N,使得时, 考虑. 所以 .为完全平方数.证毕!二求所有函数,在零点连续,且 (*)解:令 （1）而所以 f (0)=0由(1)有 f(2f(y)=y+f(y) (2)在(*)中令 故 f(f(y)=f(f(y)+y+f(
2、y) 再在(*)中令 y=f(x) f(x+2f(f(x)=f(f(x)由(*)中f(x)为单射,故x+2f(f(x)= f(x),将x换成y,有 (2) (3)所以由(2)有 f(4f(f(y)=f(2f(2f(y)=2f(y)+f(2f(y)=2f(y)+2f(f(y)=3f(y)+y另一方面 f(4f(f(y)=f(2(y+f(y)=f(2y)+y+f(y)所以 f(2y)=2f(y) (4)故由(*)及(4)有 f(x+f(2y)=f(x+2f(y)=f(x)+y+f(y)=f(x)+2f(f(y)=f(x)+f(f(2y)所以 f(x+ f(y)= f(x)+ f(f(y) (5)于
3、是,易知: f(kf(y)=kf(f(y)f(ky+y+f(y)= f(k+1)y) +f(f(y)= f(ky+f(f(2y)= 所以f(k+1)y)= f(ky) +f(y) f(ky)=kf(y) 当时,亦有 f(ky)=kf(y) (6) (由(2)所以 f(x+y)= f(x + f(2 f(y)y) (由(5) = f(x) + f(y)由于f(x)在零点连续,所以f(x)在所有点连续,故 f(x)=cx (c为常数)解得 c=1或所以 经检验均满足条件.三如果素数p和自然数n满足,证明: 证明:引理:引理的证明 ,只要证明而=(李善兰恒等式)= 引理证毕.对原命题:中的系数因 故无素数因子p,而故中必有一数大于p,从而 ,故,又.证毕.四设ABCD为凸四边形,AC交BD于P.的内心依次为.求证:四点共圆当且仅当ABCD有内切圆.证明: 先证明必要性.当四点共圆时, (1)设PA=x, PB=y, PC=z, PD=w. AB=a, BC=b, CD=c, DA=d. (为的半径)从而可知(1) (2)故(2) (3)设a+c,则 因为 故 (由(3)式,有:它们均等于1,.必要性证毕.充分性.由上述证明可以知道 ,从而(2)成立.得出四点共圆,证毕.6
