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1、潍坊分部 网址： 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功！3.2均值不等式 学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征。 学习过程 一、新课导学 探索新知如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。探究：1、正方形ABCD的面积S=_、四个直角三角形的面积和S=_、S与S有什么样的不等关系？若a,bR，那么a2+b22
2、ab，（当且仅当a=b时，取“=”号）思考：（1）该结论成立的条件是什么 ？（2）公式中等号成立的条件是什么？（3）不等式左右两边有何种运算结构？由此公式，我们可以变形为：以下不等式成立吗？均值定理：若a0 b0，（当且仅当a=b时，等号成立）1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；（积定和最小）当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值；（和定积最大）注意：在运用均值不等式求最值时，要注意使用条件，即一正，二定，三相等，而在寻找定值时，有时条件不够明显，常通过恰当的拆项，添项，变形等
3、配凑的技巧，化隐为显，使问题快速解决，常见变形应用：以下不等式中的均是正实数1、2、3、4、请熟记以上公式，以后经常用到。均值不等式的应用1. 凑系数例2. 当时，求的最大值。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2. 凑项例3. 已知，求函数的最大值。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3. 分离例4. 求的值域。评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。4。整体代换例5. 已知x0,y0，且+=1，求x+y的最小值.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：+2,即1,6.x+
4、y226=12.x+y的最小值是12.产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是=，不等式等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.5.换元例6. 求函数的最大值。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。变式训练：1.若，则=_时,有最小值，最小值为_.2.（1）已知0x，求函数y=x(1-3x)的最大值;（2）求函数y=x+的值域.3.求函数y=的最小值.4.已知，求的最小值。5.已知x0，y0，且3x+4y=12，求lgx+lgy的最大值及
5、此时x、y的值 例7：（2010福建）某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？变式：(2010年高考吉林卷)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解析:搞清楚购地总费用和建筑总面积. 学习评价 当堂检测：1、已
6、知：且，则的最大值为( )(A) (B) (C) (D)2、若，且恒成立，则a的最小值是( )(A) (B) (C)2 (D)13、已知下列不等式：；.其中正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个4、若,且，则的最小值为 .5、若，则中最大的是 .6、设，则下列不等式中不成立的是( )(A) (B) (C) (D)7、若正数满足，则的取值范围是 .8、若实数满足，则的最小值是( )(A)18 (B)6 (C) (D)例7：解析：年维修费用成等差数列,年维修费用加上其他费用是汽车的消费总费用.解:设使用年的年平均费用为万元 则使用年的维修总费用为 万元 依题得 当且仅当
7、即时取等号 时取得最小值3 万元. 答：这种汽车使用10年时，它的年平均费用最小，最小值是3 万元.例7变式：解：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为.每平方米的平均综合费用,y56048x56048(x)当x取最小值时，y有最小值x0，x230，当且仅当x，即x15时，上式等号成立所以当x15时，y有最小值2000元因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小7.解法一: 由a、bR+，由重要不等式得a+b2，则ab=a+b+32+3，即3， ab9 解法二: a、b为正数， ab=a+b+30，两边立方得 a3b334aba2b234，ab0，ab9 解法三: 原条件式变为a
8、b-3=a+b， a、b均为正数，故式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a2+b22ab， a2b2-6ab+94ab，即a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0，由式可知ab3， ab9 解法四: 把a、bR+看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-ab)x+ab=0，则=(3-ab)2-4ab0，即 (ab)2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0，ab-1=a+b+20成立， ab9 解法五: 由已知得a(b-1)=b+3，显然a1， ，即ab9 一 选择题：1已知a、b（0，1）且ab，下列各式中最大的是（）a2+b22b+b
9、2xR，下列不等式恒成立的是（ ）Ax2+1x B4x3已知x+3y-1=0，则关于的说法正确的是（）有最大值8有最小值有最小值8有最大值 4设实数x，y，m，n满足x2+y2=1，m2+n2=3那么mx+ny的最大值是（）2 5设a0，b0，则以下不等式中不恒成立的是（）（a+b）()4a3+b32ab2a2+b2+22a+2b 6下列结论正确的是（ ）A当x0且x1时，lgx+2 B当x0时，+2C当x2时，x 2 D当00且a(a+b+c)+bc=，则2a+b+c的最小值为（ ）A B C2 D2二填空题：8设x0，则函数y=2x的最大值为 ；此时x的值是 。9若x1，则loglog的最
10、小值为 ；此时x的值是 。10函数y=在x1的条件下的最小值为 ；此时x=_ 11函数f(x)=(x0)的最大值是 ；此时的x值为 _三解答题：12函数y=loga(x+3)1(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，求的最小值为。13某公司一年购某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x为多少吨？课后作业参考答案：一 选择题：1D解析：只需比较a2+b2与+b。由于a、b（0，1），a2a,b2ba2+b2+b；2B3B解析：4。A解法一：设x=sin，y=cos，m=sin，n
11、=cos，其中，（0，180）其他略。解法二、m2+n2=312x2+y2 mx+ny。5B解析：A、C由均值不等式易知成立；D中，若ab，结论显然，若ab则这显然也成立。取a=0.1，b=0.01，可验证B不成立。6B解析：A中lgx不一定为正；C中等号不成立；D中函数为增函数，闭区间上有最值。故选B。7D解析：(2a+b+c)2=4a2+(b2+c2)+4ab+4ac+2bc4a2+2bc+4ab+4ac+2bc=4(a2+bc+ac+ab)=4a(a+b+c)+bc=4()4（）2当且仅当b=c时等号成立。最小值为2。二填空题：82，292，210 。解析：y=5，当且仅当x=3时等号成立。11。解析：f(x)=，此时x。三解答题：12解析：y=logax恒过定点（1，0），y=loga(x+3)1恒过定点（2，1），-2m-n+1=0，即2mn1，（）（2mn）228，最小值为8。13解析：设一年的总运费与总存储费用之和为y，则160，当且仅当x=20时等号成立。最小值为160。1 网址：http:/ 至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途
