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1、【泡泡糖问题】 可怜的琼斯夫人路过泡泡糖出售机时,尽量不使她的双胞胎儿子有所察觉. 大儿子:妈妈,我要泡泡糖. 二儿子:妈妈,我也要,我要和比利拿一样颜色的. 分币泡泡糖出售机几乎空了,里面只有4粒白色的和6粒红色的泡泡糖.说不准下一粒是什么颜色.琼斯夫人如果要得到两粒同种颜色的泡泡糖,需要准备花多少钱? 是不是琼斯夫人需要花6分钱,准可以得到2粒红色的糖-就算所有白色的糖花去4分钱,还有两分钱可以买到2粒红色的糖.或者她花去8分钱准可得到2粒白色的糖,所以她需要花8分钱是吗?如果你这样算,那就错了,因为琼斯夫人并不要求必须得到两粒红色的糖或者两粒白色的糖,她只要求两粒同色的糖,即使先取到两粒
2、不同色的糖,第三粒必定与前两粒中的一粒同色.所以她最多只需要花3分钱. 如果出售机内有6粒红色的,4粒白色的,5粒蓝色的.琼斯夫人最多要花多少钱?显然只要花4分钱即可. 如果琼斯夫人的孩子是三胞胎,那该怎样呢?最坏的情况是她拿到了2粒红的,2粒白的和2粒兰的,第七粒肯定与前六粒中的两粒同色,所以她最多需要花7分钱. 如果只有一粒蓝色的泡泡糖,那么显然只要花6分钱即可买到三粒同色的糖. 假如琼斯夫人是幼儿园的老师,她带着 k 个孩子路过泡泡糖出售机,出售机中有 n 组同色的泡泡糖,且每组糖至少有 k 粒,她需要花多少钱呢? 最坏情况是她每种颜色的泡泡糖都买了 k-1 粒,那么再买一粒即可,所以她
3、最多需要花 n(k-1)+1 分钱. 如果 n 组糖中有一组或几组同色的糖少于 k 粒,又是什么情况呢? 让我们假设有 m 组同色的泡泡糖少于 k 粒,并且设其中第 i 组糖有 ai 粒,那么琼斯夫人最倒霉的事情是,她把所有少于 k 粒的同色糖都买了,并且其他种类的糖每种都买了 k-1 粒,最后再买一粒才能得到 k 粒同色的糖.所以她最多需要花: m (n-m)(k-1)+1+ai i=1 分钱. 这种类型的题目很多,又比如从52张纸牌中抽出7张同花的牌,那么最多需要抽多少张牌呢?显然需要 4(7-1)+1=25 张.【炙肉片的策略】约翰逊先生在户外有个炙肉架,正好能容纳2片炙肉.他的妻子和女
4、儿贝特西都饥肠辘辘,急不可耐.问怎样才能在最短时间内炙完三片肉. 约翰逊先生:瞧,炙一片肉的两面需要20分钟,因为每一面需要10分钟.我可以同时炙两片,所以花20分钟就可以炙完两片.再花20分钟炙第三片,全部炙完需要40分钟. 贝特西:你可以更快些,爸爸.我刚算出你可以节省10分钟. 啊哈!贝特西小姐想出了什么妙主意? 为了说明贝特西的解法,设肉片为A,B,C.每片肉的两面记为1,2.第一个10分钟炙烤A1,和B1.把B肉片先放到一边.再花10分钟炙烤A2和C1.此时肉片A可以炙完.再花10分钟炙烤B2和C2,仅花30分钟就炙完了三片肉,对吗? 这个简单的组合问题,属于现代数学中称之为运筹学的
5、分枝.这门学科奇妙地向我们揭示了一个事实:如果有一系列操作,并希望再最短时间内完成,统筹安排这些操作的最佳方法并非马上就能一眼看出.初看是最佳的方法,实际上大有改进的余地.在上述问题中,关键在于炙完肉片的第一面后并不一定马上去炙其反面. 提出诸如此类的简单问题,可以采用多种方式.例如,你可以改变炙肉架所能容纳肉片的数目,或改变待炙肉片的数目,或两者都加以改变.另一种生成问题的方式是考虑物体不止有两个面,并且需要以某种方式把所有的面都予以完成.例如,某人接到一个任务,把 n 个立方体的每一面都涂抹上红色油漆,但每个步骤只能够做到把 k 个立方体的顶面涂色. 今天,运筹学用于解决事物处理,工业,军
6、事战略等等许多领域的实际问题.即使是像炙肉片这样简单的问题也是有意义的.为了说明这一点,请考虑下列一些变相问题: 琼斯先生和夫人有三件家务事要办. 1.用真空吸尘器清洁一层楼.只有一个真空吸尘器,需要时间30分钟. 2.用割草机修整草地.只用一台割草机,需要时间30分钟. 3.喂婴儿入睡,需要时间30分钟. 他们应该怎样安排这些家务,以求在最短时间内全部完成呢?你看出这个问题与炙肉片问题是同构的吗?假设琼斯先生和夫人同时进行操作,一般人开始往往以为做完这些家务需要60分钟.但是如果一件家务(譬如说用真空吸尘器做清洁工作)分为两个阶段,第二阶段延后进行(像炙肉片问题那样),那么三件家务可以在3/
7、4的时间内即45分钟内完成. 下面有一个关于准备三片热涂奶油的烤面包问题.这个运筹学问题比较困难.烤面包架是老式的,两边各有一扇翼门,可以同时容纳两片面包,但是只能单面烘烤.如果要烤双面,需要打开翼门,把面包片翻过身来. 将一片面包放入烤面包架需要时间3秒钟,取出来也需要3秒钟,将面包片在烤面包架内翻身又需要3秒钟.这些都需要双手操作,即不能同时进行放,取或把两片面包同时翻身,也不能在放入一片面包,将其翻身或取出的同时把另一片涂抹上奶油.单面烘烤一片面包需要30秒钟,把一片面包涂抹上奶油需要12秒钟. 每片面包仅限于单面涂抹上奶油.未经烘烤不得事先在任何一面涂抹上奶油.单面已经烤过的和涂抹上奶
8、油的面包片可以重新放入烤面包加内继续烘烤其另一面.如果烤面包架一开始就是热的,试问双面烘烤三片面包丙涂抹上奶油最少需要多少时间? 在两分钟内完成上述工作并不太难.然而,如果你领悟到:一片面包在单面烘烤尚未结束的情况下,也可以取出,以后再放回烤面包架内继续烘烤这一面,那么全部烘烤时间就可以缩减至111秒钟.使你想到这一点,统筹安排这些操作使效率达到最高也远非是一件易事.在这方面,尚有无数比此更为复杂的实际问题,需要借助于与计算机和现代图论有关的高度复杂的数学手段.【乒乓球赛问题】某中学将举行乒乓球比赛,小明他们班有5人先进行淘汰赛,选出一人参加学校的决赛,班主任杨老师计算了一下比赛的次数:嗯,由
9、于5是奇数,所以第一轮有一个队员轮空,第二轮中还得出现一次轮空,一共需要进行4场比赛.选拔出一个队员后,学校共有37个班级参加决赛,也采用淘汰赛,你知道需要多少场比赛吗?你还没有算出来吗?哈哈!还在画表格呀?告诉你吧,每场比赛淘汰一名队员,一共要淘汰36名队员,所以要进行36场比赛.不过,如果你想轻易地算出轮空的次数却没有这么容易,那么,怎样计算轮空的次数呢?,请看如下的分析: 不知道你注意了没有,如果比赛人数正好是2的幂,那么轮空次数就是0,也就是说,如果比赛人数是2,4,8,16,32等等,就不会出现轮空,如果不是这样类型的数,则至少要有一次轮空.假设有n个队员参赛,如果是奇数,那么第一轮
10、就有一名队员要轮空,从第二轮开始的轮空数与(n+1)/2个队员参赛的轮空数是一样的,所以这时总的轮空数是:(用L(n)表示n个队员参赛的轮空数) L(n)=1+L(n+1)/2) 如果n是偶数,那么,第一轮没有轮空,从第二轮开始的轮空数与n/2个队员参赛的轮空数是一样的,所以有: L(n)=L(n)/2) 我们可以统一处理以上两个公式: L(n)=a0+L(n+a0)/2) 其中a0为1或为0取决于n的奇偶性,下面的a1,a2,a3.也一样,假定2kn=2,因为最后总是冠亚军决赛,所以最后一场比赛总是2名队员.继续往下推,我们有: L(n)=a0+a1+L(a0/4+a1/2+n/4) =a0
11、+a1+a2+L(a0/8+a1/4+a2/2+n/8) =a0+a1+a2+.+ak-1+L(a0/2k+a2/2k-1+.+ak-1/2+n/2k) k-1 k-1 = as+L(1/2kas2s+n/2k) s=0 s=0 由于最后总有: k-1 1/2kas2s+n/2k=2 s=0 即: k-1 as2s=2k+1-n s=0 我们看到,L(n)=a0+a1+a2+.+ak-1 所以,只要将2k+1-n化成二进制表示,其系数和就是轮空数,也就是其中1的个数.对于n=37,我们可以算出2k+1-n=64-37=27=11011,其中有4个1,所以共有四次轮空.【玻璃杯问题】巴尼在汽水柜
12、台工作,他用10只玻璃杯给两名顾客出了个难题.巴尼:这一排有10只玻璃杯,左边5只内有汽水,右边5只空着,请你使这排杯子变成满杯与空杯相互交错,条件是只允许移动4只杯子.两位顾客看了看巴尼,又看了看杯子,摇了摇头,不知道怎么办.巴尼:好吧,我来告诉你们,只要分别把第二只杯子和第七只杯子,第四只杯子和第九只杯子交换一下位置就成了. 这时,奎贝尔教授正好来到柜台前,看到了他们的把戏,并且来了点小花招.奎贝尔教授:何需移动四只杯子,我只要移动两只就行了,你行不行?巴尼纳闷地瞧着奎贝尔教授,不明就里.奎贝尔教授:很简单,只要拿起第二只杯子,把里面的汽水倒进第七只杯子,再拿起第四只杯子,把里面的汽水倒入
13、第九只杯子就行了. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - 虽然奎贝尔教授抓住话语间的模棱两可之处解决了这个问题,但这个问题并不像乍看上去那么简单.例如,还是这么个问题,但改成100只满杯挨着100只空杯排成一排,请考虑一下,若要使其变成满杯和空杯交错排列,需将多少对杯子互换位置?显然,一般地,如果有2n只杯子,n只满杯,n只空杯,需要将n/2对杯子互换位置,方法是2k号杯子与2k+n号杯子互换位置即可(k=1,2,3,.)若n=100,则需互换50次. 有一个与上面分析的问题类似但困难的多的古典难题.咱们这回用两种不同颜色的杯子作为道具,但是移
14、动方法却大相径庭:每次只能一块儿移动一对相邻的杯子,使结果成交错排列,以n=3为例,解题过程如下图所示:1 2 3 4 5 6 普遍的解是什么呢?当n=1时,没有意义,n=2时你会发现,无解,当n2时,解此问题至少需要移动n次.n=4时,求解很不容易,你不妨试试,煞是有趣,或许你能够把当n=3时的解题过程公式化.不像上两道题比较容易,这个问题我还没有仔细研究过,先把这道题上载,大家也可以发表意见. 根据这一难题还可以产生许多奇异的变相问题,用来测验你的智力.这里试着举几例: (1).仍然是同时移动两只相邻的杯子,但是如果颜色不同,则要在移动过程中交换位置,这样一对黑白的杯子就变成一对白黑排列了.解8只杯子需要移动5次.对于10只杯子,5次移动也够了.我还尚不知道他的普遍解,也许你能找出来. (2).某种颜色的杯子少一个,即某种颜色的杯子
