《2011-2012学年高二下学期数学2-2,2-3复习提纲.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011-2012学年高二下学期数学2-2,2-3复习提纲.doc（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复习提纲（一）导数及其应用一、主要知识点1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。 如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。即f（x）=。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤为：（1）求函数的增量=f（x+）f（x
2、）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f(x)=。2导数的几何意义 函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。3常见函数的导数公式（共8个，自己补充余下四个）（）（C为常数）（）（）（）4两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与
3、函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。求导法则：y|= y| u|5导数的应用（单调性、极值、最值、优化问题）（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；单调区间的求解过程，已知 求的定义域； 求导数 解不等式，解集在定义域内的部分为增区间解不等式，解集在定义域内的部分为减区间（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，
4、右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；求极值的步骤：求；求方程的根；分析在方程根左、右两侧的值的符号；如左正右负，则在这个根处取得极大值；如左负右正，则在这个根处取得极小值；如果同正同负，那么在这个根处无极值（3）一般地，在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。求最值的步骤：求函数在(a，b)内的极值； 求函数在区间端点的值(a)、(b)； 将函数 的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定积分（1）概念：设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任
5、一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。（2）定积分的性质（k为常数）；（其中acb。（3）微积分基本定理：一般地，如果，且f（x）在a，b上可积，（4）定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（ab），x轴及一条曲线yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（
6、ab）围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC。求平面图形的面积的一般步骤：（1）画出图形，将其适当地分割成若干个曲边梯形；（2）对每一个曲边梯形确定被积函数与积分上下限，用定积分表示其面积；（3）计算各个定积分，求出所求的面积关键环节：认定曲边梯形，选定积分变量，确定被积函数与积分上下限注意：当所围成的图形在x轴下方时，积分值为负，因此面积为积分数值的绝对值二、典例解析题型1：导数的概念例1利用定义求函数y =的导数。（与用求导公式解决比较）解：，=-。题型2：导数的基本运算例2（1）求的导数； （2）求的导数；（3）求的导数； （4）求y=的导数；解：（1）,（2）先
7、化简,（3）先使用三角公式进行化简：（4）y=；题型3：导数的几何意义例3（1）（06安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D（2）求过曲线上的点的切线方程解：（1）与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A；（2）设为切点，又，即切线的斜率为设此切线方程为，又切线过，故切点在曲线上，故由、，解得，或故所求切线方程为或，即或点评：由上述解法可知，两直线都过曲线上的点，但直线以，为切点该解法避免了对点是否为切点的讨论，简化了解题题型4：借助导数处理单调性、极值和最值例4（1）（06江西卷）对于R上可导的任意函数f（x）
8、，若满足（x1）0，则必有（ ）A、f（0）f（2）2f（1）（2）（06浙江卷）在区间上的最大值是（ ）A、2 B、0 C、2 D、4（3）、设函数f(x)= （）求f(x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。解：（1）当x1时，f（x）0，函数f（x）在（1，）上是增函数；当x1时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，即有f（0）f（1），f（2）f（1），选C；（2），令可得x0或x2（2舍去），当1x0，当0x1时，0，所以当x0时，f（x）取得最大值为2。选C；（3）由已知得，令，解得 。（）当时，在上单调递增； 当时，随的变化情况如下表：0+00
9、极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。（）由（）知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。题型5：导数综合题例6（06广东卷）设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点。求(I)求点的坐标；(II)求动点的轨迹方程。解： ()令解得；当时,， 当时,，当时，。所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,。所以, 点A、B的坐标为。（） 设，所以。又PQ的中点在上，所以，消去得。题型6：导数实际应用题例6、用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小
10、正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为x，容器的体积为V，则V=（90-2x）（48-2x）x,(0V24) =4x3-276x2+4320xV=12 x2-552x+4320由V=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36x0,10x36时，V36时，V0,当x=10,V有极大值V(10)=1960又V(0)=0,V(24)=0,所以当x=10,V有最大值V(10)=1960题型7：定积分例8计算下列定积分的值（1）；（2）；解：（1）（2）三、习题选编（1）选择题1、曲线上切线平行于x轴的点的
11、坐标是（ ）A、（-1，2） B、（1，-2） C、（1，2） D、（-1，2）或（1，-2）2、函数在0，3上的最大值、最小值分别是（ ）A、5，15B、5，4C、4，15D、5，163、对任意x，有，f(1)=-1，则此函数为（ ） A、 B、 C、 D、4、用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 ( )A、 6 B、 8 C、 10 D、 125、yx ln(1+x)的单调递增区间是 ( )A、 ( -1 ,0 ) B、 ( -1 ,+) C、 (0 ,+ )
12、 D、 (1 ,+ )6、设，则有（）、极小值、极大值 、极大值、极小值（2）填空题1、曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 。2、垂直于直线2x-6y+1=0，且与曲线相切的直线的方程是_3、曲线在0，上与和x轴所围成的平面图形的面积等于4、用定积分的几何意义计算定积分= 。（3）解答题1、求经过点（2，0）且与曲线相切的直线方程。2、已知函数f(x)=x2+ax+b，g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x)，且f/x=g/(x)，f(5)=30，求g(4)。3、设函数在及时取得极值（1）求a、b的值；（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围4、已知函数的
13、图象经过点（0,1），且在处的切线方程是，（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间。5、设是曲线及所围成的平面区域，求的面积6、某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件件次品则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率与日产量的函数关系是（1）将该厂的日盈利额（元）表示为日产量（件）的函数；（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？7、已知函数，（1）若在上恒为增函数，求的取值范围；（2）求在区间上的最大值复习提纲（二）推理与证明一、知识结构二、知识要点（一）合情推理与演绎推理1归纳推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理显然归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题也就越可靠，应用归纳推理可以获得新的结论（2）归纳推理的一般步骤通过观察一系列情形发现某些相同的性质从已知的相
