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1、高中数学16个二级结论结论一奇函数最值性质已知函数f(x)是定义在集合D上奇函数,则对任意xD,均有f(x)+f(-x)=0.尤其地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0D,则f(0)=0.例1设函数最大值为M,最小值为m,则M+m=.跟踪集训1.(1)已知函数,则 =() A.-1B.0 C.1D.2(2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,bR,cZ),选用a,b,c一组值计算f(1)和f(-1),所得出对旳成果一定不也许是()A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2结论二 函数周期性问题已知定义在R上函数f(x),若对任意xR,总存在
2、非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一种周期.常用与周期函数有关结论如下:(1)假如f(x+a)=-f(x)(a0),那么f(x)是周期函数,其中一种周期T=2a.(2)假如f(x+a)= (a0),那么f(x)是周期函数,其中一种周期T=2a.(3)假如f(x+a)+f(x)=c(a0),那么f(x)是周期函数,其中一种周期T=2a.(4)假如f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a0),那么f(x)是周期函数,其中一种周期T=6a.例2已知定义在R上函数f(x)满足f =-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1，f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3
3、)+f(2 014)+f(2 015)=()来源:Zxxk.ComA.-2 B.-1 C.0D.1跟踪集训2.(1)奇函数f(x)定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=() A.-2B.-1C.0D.1(2)定义在R上函数f(x)满足f(x)= 则f(2 014)=()A.-1B.0 C.1D.2结论三函数对称性已知函数f(x)是定义在R上函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)图象有关直线x= 对称,尤其地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图象有关直线x=a对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)
4、图象有关点中心对称.尤其地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)图象有关点(a,b)中心对称.例3已知定义在R上函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在1,+)上是增函数,不等式f(ax+2)f(x-1)对任意x恒成立,则实数a取值范围是()A.-3,-1B.-2,0 C.-5,-1D.-2,1跟踪集训3.(1)若偶函数y=f(x)图象有关直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.(2)函数y=f(x)对任意xR均有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)图象有关点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)值
5、为.结论四反函数图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D上单调函数,则存在反函数y=f-1(x).尤其地,y=ax与y=logax(a0且a1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内有关直线y=x对称,即(x0，f(x0)与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)图象上.例4设点P在曲线y= ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|最小值为()A.1-ln 2B. (1-ln 2) C.1+ln 2D. (1+ln 2)来源:学科网ZXXK跟踪集训4.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=()A. B.3 C.
6、 D.4结论五两个对数、指数经典不等式1.对数形式:1- ln(x+1)x(x-1),当且仅当x=0时,等号成立.2.指数形式:exx+1(xR),当且仅当x=0时,等号成立.例5设函数f(x)=1-e-x.证明:当x-1时，f(x).跟踪集训5.(1)已知函数f(x)= ,则y=f(x)图象大体为()(2)已知函数f(x)=ex,xR.证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点.结论六三点共线充要条件设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线充要条件是存在实数与,使得,且.尤其地,当P为线段AB中点时，.例6已知A,B,C是直线l上不一样三个点,点O不在直线l
7、上,则使等式成立实数x取值集合为()A.-1B. C.0D.0,-1跟踪集训6.在梯形ABCD中,已知ABCD,AB=2CD,M、N分别为CD、BC中点.若,则.结论七三角形“四心”向量形式设O为ABC所在平面上一点,角A,B,C所对边长分别为a,b,c,则(1)O为ABC外心 .(2)O为ABC重心 .(3)O为ABC垂心 .(4)O为ABC内心 .例7已知A,B,C是平面上不共线三点,动点P满足,则点P轨迹一定通过() A.ABC内心 B.ABC垂心 C.ABC重心 D.AB边中点跟踪集训7.(1)P是ABC所在平面内一点,若,则P是ABC()A.外心B.内心C.重心D.垂心(2)O是平面
8、上一定点,A、B、C是平面上不共线三个点,动点P满足,则P点轨迹一定通过ABC()A.外心B.内心C.重心D.垂心(3)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线三个点,动点P满足,则P轨迹一定通过ABC()A.外心B.内心C.重心D.垂心结论八等差数列1.若Sm,S2m,S3m分别为等差数列an前m项,前2m项,前3m项和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.2.若等差数列an项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md，.3.若等差数列an项数为2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,
9、则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am，.例8(1)设等差数列an前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=() A.3 B.4 C.5D.6(2)等差数列an前n项和为Sn,已知am-1+am+1- =0,S2m-1=38,则m等于.跟踪集训8.(1)等差数列an前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30=.(2)一种等差数列前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和比为3227,则数列公差d=.结论九等比数列已知等比数列an,其公比为q,前n项和为Sn.(1)数列也为等比数列,其公比为.(2)若
10、q=1,则Sn=na1,且an同步为等差数列.(3)若q1,则Sn= .(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍为等比数列(q-1或q=-1且n为奇数),其公比为qn.(5)Sn，,仍为等比数列,公比为.例9(1)已知an是首项为1等比数列,Sn是an前n项和,且9S3=S6,则数列前5项和为() A. 或5B. 或5C. D. (2)设等比数列an前n项和为Sn,若 =3,则 =()A.2B. C. D.3跟踪集训9.在等比数列an中,公比为q,其前n项和为Sn.已知S5= ,a3= ,则.结论十多面体外接球和内切球1.长方体体对角线长d与共点三条棱长a,b,c之间关系为d2=a2+b2
11、+c2;若长方体外接球半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.2.棱长为a正四面体内切球半径r= ,外接球半径R= .例10已知一种平放各棱长为4三棱锥内有一种小球O(重量忽视不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入水体积是该三棱锥体积时,小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切),则小球表面积等于()A. B. C. D. 跟踪集训10.(1)已知直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球表面积是16,则该三棱柱侧棱长为()A. B. C. D.3(2)已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2球面上,球心O到平面ABC距离为1,点E是线段AB中点,过点E作球O截面
12、,则截面面积最小值是()A. B.2C. D.3结论十一焦点三角形面积公式1.在椭圆 (ab0),F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则PF1F2面积,其中=F1PF2.2.在双曲线1(a0,b0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则PF1F2面积,其中=F1PF2.例11已知F1,F2是椭圆和双曲线公共焦点,P是它们一种公共点,且F1PF2=,则椭圆和双曲线离心率倒数之和最大值为()A. B. C.3D.2跟踪集训11.(1)如图,F1,F2是椭圆C1：与双曲线C2公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2离心率是() A
13、. B. C. D. (2)已知F1,F2是椭圆C： (ab0)两个焦点,P为椭圆C一上点,且.若PF1F2面积为9,则b=.结论十二圆锥曲线切线问题1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.2.过椭圆上一点P(x0,y0)切线方程为.3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p0)和直线l:y0y=p(x+x0).(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M连线分别是抛物线切线,即直线l为切点弦所在直
14、线.(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.例12已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上点,过点P作抛物线C两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上定点时,求直线AB方程.跟踪集训12.(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1两条切线,切点分别为A,B,则直线AB方程为()A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0(2)设椭圆C：,点P,则椭圆C在点P处切线方程为.结论十三圆锥曲线中点弦问题1.在椭圆E： (ab0)中:(1)如图所示,若直线y=kx(k0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆切线l,l,有ll,设其斜率为k0,则k0k= .(2)如图所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B点,若直线PA,PB斜率存在,且分别为k1,k2,则k1k2= .(3)如图所示,若直线y=kx+m(k0且m0)与椭圆E交于A,B两点,P
