2011/10/25 思路方法技巧 高二年级 15971660602 Helen.wp@环形区域染色计数问题王平宜昌市三峡高级中学 443100在近几年的高考与各地模考中常见区域染色计数问题的试题，这类试题包含着丰富的数学思想，解题方法技巧性强且灵活多变，有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力．其中的条形区域染色问题学生容易掌握，但对于环形区域的染色问题往往不能灵活应对，甚至无从下手．针对环形区域染色计数问题的求解笔者做了一番尝试，总结出一种行之有效的方法． 一、问题展示用A、B、C、D、E五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内（如右图），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1 24 3 4分析：解决这类环形区域计数问题的方法常常是分类讨论：（1） 四个区域颜色均不相同，有种；（2） 区域1、3同色而区域2、4不同色，有种；（3） 区域2、4同色而区域1、3不同色，有种；（4） 区域1、3同色且区域2、4同色，有种；所以共有：+++=260种．分类方式在区域较少的时候采用比较适合，但区域较多的情况难以进行．为了解决这个问题，不妨先将颜色和区域简化，观察并归纳其中的规律，再来解决此类问题．二、问题分解123问题1： 用A、B、C三种颜色涂在如图所示的的三个小方格内（如下图），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？并将所有可能的涂色方案分别列举出来解：所有可能的染色方案有：（按1、2、3的顺序写成排列） ABA ABC ACA ACB BAB BAC BCA BCB CAB CAC CBA CBC 共12个排列，即有12种染色方案．1234问题2：如果将问题1中的条形区域改为如右图所示的的四个区域，则应如何求解？解：可以在三个区域的基础上进行添加，以区域1、2、3分别染ABA为例，第四个区域可以染除颜色A外的B、C两种色的任何一种，即有ABAB、ABAC2种．同理，其他所有排列都可以这样处理。
如下图所示：1 2 3所以：共有12*2=24种染色方案问题3：如果将问题1中的条形区域改为如下图所示的的三个扇形区域，则应如何求解？解：问题3与问题1的区别在于问题3中区域1与区域3也相邻，故问题3的染色排列数可以在问题1的染色排列数中挑选首尾不同的排列数ABC ACB BAC BCA CAB CBA 共6种不同的排列，即有6种不同的染色方案．1 24 3问题4：如果将问题2中的三个区域改为如右图所示的的四个区域，则应如何求解？解：同样区域4的处理方式可以仿照问题3，即从问题2中挑选首尾不同的排列数．1234A124B124C124三、归纳升华通过问题1到问题4我们可以发现，问题1、2、3、4中存在千丝万缕的联系我们用右图中表格呈现他们之间的关系： （注：表格中的列3行A表示对条形问题中第3个区域染色时，以A结尾的排列数）按照问题1到问题2的思路，列4行A的排列数可以建立在区域3结尾为B或C的的基础上，故列4行A的排列数等于列3行B的排列数+列3行C的排列数=8；同理可以得到列4行B、列4行C的值都是8． 但是我们从中考查首尾不同的排列的排列数的时候发现了问题，列4行A（第4个区域染色A的排列数）中包含第1个区域为A，也包含第1个区域为B、C，即其中包含首尾相同的，也含首尾不同的．这样，我们就没有办法考查首尾不同的排列数了．仔细分析问题产生的原因，主要是区域1有A、B、C三种颜色，区域4也有三种颜色，无法分辨出首尾颜色相同和不同．为了解决这个问题，我们再回到问题3，为什么问题3中我们可以分辨出来呢？这是因为问题3中的区域1颜色已知．也就是说，在区域1颜色已知的前提下，我们是可以分辨出来的．那么如果区域1颜色固定，就不存在上述问题．于是，我们可以按第一个区域染A、B、C三种不同类型分类解决这个问题。
按上表中产生排列数数据的方式，产生三个表格）1234A1022B0113C01131234A0113B0113C10221234A0113B1022C0113 表1 表2 表3 以区域1颜色为A为例（如表1），即区域1我们染A的排列数为1染B、C 的排列数为0．经过以上产生排列数的方法完成表格后，发现，在区域1染A 的前提条件下，区域4染A、B、C的排列数分别为2、3、3，又因为首尾不同，即区域4不能染A．则首尾不同的排列数为区域4染B、C的排列数有3+3=6个．而且通过上面的三个表格我们可以发现，区域1染A的排列数、区域1染B的排列数、区域1染C的排列数相同．因此，我们可以简化过程，只列出一个表1，得到相应的答案后乘以区域1染色的可能数．即对于本题来说，表1中我们得到在区域1染A的前提下有6种不同的排列，则总的排列数应为：6*3=18种．即有18种染色方案．四、总结方法回头我们再来看看这类问题的解决办法，主要可以将问题的解决归纳为如下几个步骤：（1） 将环形从中断开视为条形问题，将染色方案视为排列；（2） 将区域1的颜色固定，再以表格的方式呈现；（3） 从表格中挑选适合的排列数；（4） 用（3）的结果乘以区域1染色的可能数即得到所求的结果．1 24 3回到开头提出的问题：用A、B、C、D、E五种颜色涂在“田”字形的四个小方格内（如右图），每格涂一种颜色，相邻的两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？1234A10412B01313C01313D01313E01313解：1>将图形从1、4断开，转化为条形，并考察区域1，有5种颜色可以选择，不妨设为A；2>按1、2、3、4的顺序做出表格；3>挑出区域4不染A的排列数有13+13+13+13=52种；4>所以染色方案有52*5=260种．五、方法拓展（1）方法的局限性这种方法产生主要建立在后一个区域的颜色选择只考虑前一个区域的颜色，故若存在多于两个个区域影响的情况则不能直接使用于这种方式。
如：图A、图B （注：以上两个图中影响区域3的分别有3个和4个区域，所以不能使用这种方法2）方法的拓展性虽然以上2个图形的染色问题不能直接使用这种方法，但是经过适当处理，还是可以使用的．回想对环形问题的处理方式，是将环形问题从某个地方剪开，将环形问题转化为条形问题，从中挑选符合要求的，那么对于图A，我们可以选择从区域1、3处断开，将区域1、2、3、4的染色问题转化为排列问题，然后在区域3的染色方案中进行挑选．对于图B，我们发现区域3与其他三个区域都相邻，即区域3的颜色与其他区域都不相同，故我们可以将区域3先染色，然后将区域3去掉，相应的颜色也去掉一种，再观察其特点，就可以用以上表格的方式进行处理．。