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1、1、考虑建模为M阶AR过程的广义平稳随机过程u(n)。由平均功率和AR系数 组成的一组参数与自相关系列一一对应，如下式证明该命题正确。2、考虑由如下差分方程描述的二阶MA过程x(n)，其中是方差为1的零均值白噪声过程。要求用一个M阶AR过程u(n)近似该过程。对于下列阶数(a)M=2 , (b)M=5 ,(c)M=10做上述逼近，并评价所得结果。如果AR过程u(n)要与MA过程x(n)精确等价，则M必须多大？3、横向滤波器的抽头权向量定义为: u(n)=(n)s(n)+v(n)其中 s(w)=1,e,e和 v(n)=v(n),v(n-1),v(n-M+1)正弦向量s(w)的复数幅度是零均值、方
2、差为 =E的随机变量。试完成如下工作：（a） 确定抽头输入向量u(n)的相关矩阵（b） 设期望响应和u(n)不相关，对应的维纳滤波器的抽头权向量是什么？（c） 假设方差，目标响应d（n）的定义为这里0，维纳滤波器的抽头权向量的新值是什么？（d） 确定期望响应的维纳滤波器抽头权向量 这里是延时4、图a和图b分别表示期望响应为的自回归模型和含有噪声的通信信道模型。在图a中，是零均值、方差为的白噪声过程，在图b中是零均值、方差为的白噪声过程。两个声源和是统计独立的。（a）证明信道输出为其中 （b）假设使用长度为2的维纳滤波器，确定抽头输入向量的相关矩阵R和抽头输入向量与滤波器期望响应的互相关向量。（
3、c）利用（a）和（b）的结果，确定维纳滤波器的最优权向量和维纳滤波器产生的最小均方误差。5、（a）一个过程由复包络为、角频率为的单一正弦函数过程和零均值、方差的加性噪声构成，即，其中,且该过程应用于一个M阶线性预测器，并在均方误差意义上将其最优化。试解答如下问题计算M阶预测误差滤波器抽头权值以及最终预测误差功率计算相应的格型预测的反射系数。当方差趋于0时，和的结果有何变动。6、在最速下降算法中，经过n+1次迭代后的抽头权向量的校正可以表达为，其中u(n)是抽头输入向量，e(n)是估计误差。在误差性能曲面极小值处，这个调整会发生什么情况？根据正交性原理，讨论这个答案。7、考虑一阶自回归(AR)过
4、程，其差分方程描述为，其中a是过程的AR参数，是零均值、方差为的白噪声。（a）建立一个一阶线性预测器来计算参数a。特别地，使用最速下降算法迭代求解参数a的维纳解。（b）画出这个习题的误差性能曲线，并根据已知参数表明曲线的极小点。（c）步长参数满足什么条件才能保证收敛？并证明你的结论。8、某一未知实值系统的零均值输出用多重线性回归模型表示为，其中是模型的（未知）参数向量，是输入向量，是零均值、方差为的白噪声样值。图P5.1的框图给出未知系统的自适应模型，其中自适应横向滤波器由改进的LMS算法控制。特别地，横向滤波器的抽头权向量的选择使得如下性能指标，最小化，其中K=1,2,3,。（a） 使用瞬态梯度向量，证明相应抽头权向量估计新的自适应原则为 ，其中是步长参数，而为估计误差。（b） 假设加权误差向量为零，与独立。试证明其中R是输入向量u(n)的相关矩阵（c） 证明如果步长参数满足如下条件0其中是矩阵R的最大特征值，则（a）中描述的改进LMS算法在均值意义上收敛。（d） 对于K=1，证明(a),(b)和(c)的结果退化为相应的传统LMS算法的解。9、考虑均值为0、方差为的白噪声序列作为LMS算法的输入。试给出(a)在均方意义上算法收敛的条件，并计算(b)额外均方误差
