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1、(完满版)求数列通项公式的十种方法求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一利用递推关系式求数列通项的11 种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法） 、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）特色根法、二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。三 求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列经过变形，代换转变成等差数列或等比数列。四求数列通项的基本方法是：累加法和
2、累乘法。五数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法1适用于：an 1anf (n) - 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。2若 an 1anf ( n) (n2) ，a2a1f (1)a3a2f (2)则LLan 1anf ( n)n两边分别相加得an 1a1f (n)k1例 1已知数列 an 满足 an 1an2n1， a11，求数列 an 的通项公式。解：由 an 1an2n1得 an 1an2n 1 则an (anan 1 ) (an 1an 2 ) L(a3a2 ) (a2a1) a12( n1)12( n2)1L(22 1)(2 1 1) 12(n
3、1)(n2)L2 1(n1)1(n1)n122(n 1)(n 1)(n1)1n2因此数列 an 的通项公式为 ann2。例 2已知数列 an 满足 an 1an2 3n1， a3 ，求数列 an 的通项公式。1解法一：由 an1an2 3n1得 an 1an2 3n1 则an ( anan 1 ) (an 1an 2 ) L(a3a2 ) (a2a1 ) a1(23n 11)(23n21)L(2321)(2 311) 32(3n 13n 2L3231 )(n1)32 3(13n1 )(n1)3133n3n133nn1因此 an3nn1.解法二： an 13an23n1 两边除以 3n 1 ，得
4、 an1an21，3n13n33n1则an 1an213n 13n33n 1 ，故ananan 1) (an 1an 2an 2an 3L (a2a1a1n( nan 1n 2) (n 2n 3 )21 )333 an 13333 3( 2 1n ) ( 2n11 ) ( 2n12 )L ( 2 12 )33333333332(n1)1111L13( 3n3n3n 13n 232 ) 11n1因此an2(n 1)3n(13)2n11，3n31312233n则 an2n 3n13n1 .322练习1. 已知数列an的首项为1 ，且an 1an2n(n N* )写出数列an的通项公式 .答案： n
5、 2n1anan 112)2. 已 知数 列 an 满足 a1(n练习3 ，n( n 1)， 求此 数列的 通项 公式 .an12答案：裂项求和n评注：已知 a1 a , an 1 an f (n) ，其中 f(n) 可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项 an .若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转变成等差数列求和;若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转变成等比数列求和;若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 3.已知数列 an 中 , anSn1 (ann ),求数列
6、 an 的通项公式 .0 且2anSn1 ( ann ) Sn1 (SnSn 1n)解 :由已知2an得2SnSn 1,化简有Sn2Sn2 1 nSn2S122 3n,由种类 (1)有,2n(n1)2n(n1)又 S1a1 得 a11,因此 Sn2,又 an0 ,sn2,2n(n1)2n(n1)an则2此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法1.适用于：an 1f (n)an - 是广 的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。an 1a2a3f (2)，Lan1f (n)2若f (n) ， f (1)，L ，ana1a2anan 1n两 分 相乘得，a1f (k )a1k1例 4已知数列 an
7、 足 an 12(n 1)5na ， a3，求数列 an的通 公式。n1解：因 an 12( n 1)5nan， a13，因此 an0 ， an 12( n 1)5n ，故anananan 1 La3 a2 a1an1an2a2 a12( n11)5n 1 2( n21)5n 2 L2(21)52 2(1 1)51 32n1 n(n1)L3 25(n 1)( n 2)L2132n 1n (n1)35 2n! a 2n1n (n1)因此数列的通 公式 an352n!.n例 5. an 是首 1 的正 数列，且n1 an21na n2an 1 an0 （ n =1 ， 2， 3，）， 它的通 公式是an =_.解：已知等式可化 ：( an 1an ) (n 1)an 1 nan0an 1nan0 ( n N * )(n+1) an 1na n 0 , 即 ann 1ann 1n2 ， an 1nanan 1a2a1n 1 n 211an= n n 11an 1an 2a12= n .评注： 此题是关于an 和 an 1 的二次齐次式，可以经过因式分解（一般情况时用求根公式）获取an 与 a n 1 的更为明显的关系式，进而求出a n .练习 .已知 an 1nann1, a11,求数列 an 的通项公式 .答案：an(n
