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1、2007年北京市数学高考试题分析 2007.6.24一、试题总体印象2007年夏季的高考数学试题很好地遵循了2007年北京市高考数学科考试说明的指导思想：有助于高等学校选拔新生，有助于中学实施素质教育，有助于培养学生的创新精神与实践能力.今年的试题与2006年试题对比总体保持稳定.在稳定的前提下，适度呈现新颖的格局.“稳定”体现在坚持重点内容重点考查，坚持考查基础知识、基本技能和基本方法；“新颖的格局”体现在重点内容常考常新，体现在与新课程标准的衔接，试题呈现方式不拘一格，能够有效区分考生的适应能力.试题注重深化能力立意，积极稳妥地推进改革创新，并兼顾了数学知识、方法、思维、应用和数学能力的考
2、查，坚持“平稳过渡，稳中求新”，体现了命题组尊重学生的个性，关注学生的整体发展，强化素质教育正确导向的命题思想，使试题具有较高的区分度和适当的难度.概括起来，今年试题的特色为：“立足基础、重点突出、立意新颖、甄别能力”.二、试题主要特点1、保持稳定，依纲靠本 试题依据2007年北京卷考试说明的相关要求，继续探索具有首都特色的命题思路.试题注重对数学双基、数学能力的考查；对文科试题注意控制难度，在试卷的呈现方式等方面做了进一步的探索，这将对北京市的教育教学改革起到积极的指导作用.这份高考试题与前两年夏季试题相比，试题在命题思路上总体保持了稳定.基础与能力的考查并重，注重创新，兼顾对数学基础知识、
3、基本方法、数学理性思维、数学应用和数学素养的考查.试题有利于引导中学数学教学要克服“题海战术”和“大运动量”重复训练的倾向，向全面提高学生的数学素质的方向发展.试卷中的一些题目来源于教材，如理科19题和现行高一教材第90页例1类似，选择、填空题中的很多题目在教材中也能找到“原型”.2、覆盖全面，重点突出这份高考试题，对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法进行了比较全面的考查，重要章节的知识内容几乎无一遗漏，且各章内容所占比例与教学课时比例大体相当.同时，对重点内容进行重点考查，力争体现数学学科特点（高度抽象、逻辑严密、应用广泛）.试题双向细目表：考试内 容考 点理 科文 科考试内容考 点理
4、科文 科集合简易逻辑集合1215不等式性质与证明7简易逻辑37解不等式1215函数映射1414含绝对值不等式1215函数1920反函数22直线与圆直线1719单调性88线性规划66奇偶性88曲线与方程1719指数函数22圆1719对数函数8圆锥曲线椭圆194函数的应用1920双曲线1719数列数列10，1510，16抛物线820等差数列及前n项和1516立体几何空间直线和平面3，167，17等比数列及前n项和1516多面体1617球三角函数三角函数11排列组合排列组合55，18周期性3二项式二项式定理两角和与差2概率与统计概率1818二倍角公式1313随机变量18正、余弦定理1112统计18极
5、限数学归纳法15y=Asin(x+)的图象3极限导数导数199解斜三角形1112导数应用1920平面向量向量基本运算4复数复数的运算9向量坐标运算11创新题20平移43、能力立意，面貌清新考试说明明确要求：“能阅读、理解对问题进行陈述的材料”，“能选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，使问题得到解决.”在北京卷的试题中，遵循“背景公平、控制难度”的要求，适当编制了有新意、特色的问题，着重考查以思维能力为核心的各种数学能力，有效地考查了学生分析和解决问题的能力，考查了学生的应变能力，对后期的复习和教学起到良好的导向作用.如理科试题13、18、19、20题；文科试题13
6、、20等题目.同时试卷的呈现方式不拘一格，在遵循难度从低到高的原则上，解答题的排列顺序适当变化，显现新颖的“面貌”，同时对于考生适应新的情境提出较高要求.4、适度综合，注重层次这份试题在对基础知识考查的同时，注重学科的内在联系和知识的综合：对能力的考查强调探究性、综合性、应用性；在强调综合性的同时，注重试题的层次性，合理调控试题的综合难度.试题注意对综合性的要求，每个试题考查的知识点通常在2个以上，并坚持多角度、多层次的考查.此外，选择、填空、解答三种题型的试题，起点难度都较低，题目不偏不怪、平稳亲切，并且梯次渐进，符合北京卷特色.这样做不仅有利于学生水平的正常发挥，也有利于对各分数段考生的区
7、分.5、文理有别、实事求是根据北京市文理学生的实际，试题坚持文理有别并适当加大比例：选择题中只有3个题文、理科完全相同，2个题目文科降低了难度，3个题目完全不同.填空题只有2个题文、理科完全相同，2个题目文科降低了难度，2个题目完全不同.解答题只有2个题文、理科完全相同，1个题目文科降低了难度，3个题目完全不同.文科试题在抽象思维、字母运算、空间想象、解决问题等能力方面，与理科相比都适当降低了难度.这样做有利于激发文科学生学习数学的兴趣，促进文科学生全面发展.三、试题主要解法及分析1选择题（1）（文1理1）已知，那么角是A 第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C. 第三或第四象限角 D.第一
8、或第四象限角命题意图：考查三角函数的定义、象限角及其三角函数值的符号以及同角三角函数的关系.正确答案：C解法1：因为，所以，即是第三或第四象限角. 解法2：讨论: cos0， 则是第三象限角， cos0 且 tan0时f(x)1 ,x=2时f(x)=9, 所以，.（3）（理3文7）平面/平面的一个充分条件是A存在一条直线，/，/ B存在一条直线，/C存在两条平行直线，/，/D存在两条异面直线，/，/命题意图：本题考查空间直线和平面的位置关系、两个平面平行的判定方法以及空间想象能力.正确答案：D参考解法：本题从题干和选择支对照，容易想到举出如图所示的反例依次排除答案A、B、C，从而选D.对答案的
9、证明如下： 在直线b上任取一点A，经过点和直线a的平面与相交于直线ca/,ac,从而，c.a与b异面，b、c为平面内的两条相交直线，又b且c.（3）（文）函数的最小正周期是A B C D命题意图：考查运用三角函数和角或差角公式进行三角变换以及周期的求法.正确答案：B解法：.（4）（理）已知是所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么A B C D命题意图：考查平面向量的加法的平行四边形法则以及向量应用-定比分点.正确答案：A解法1：由答案容易猜测，O为的定比分点，因为D是BC的中点且，所以，即.解法2：如图，利用向量的加法的几何意义，可知D是OE的中点，所以有.（4）（文）椭圆的焦点为，两条准线
10、与轴的交点为，若，则该椭圆离心率的取值范围是A B C D命题意图：考查椭圆的几何性质和解不等式的能力.正确答案：D解法：不等式可转化为，即，所以，又e1，因此（5）（理）记者要为5名志愿者和他们帮助的2名老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法有A1440种 B960种 C720种 D480种命题意图：考查两个计数原理和利用“捆绑法”求解有约束条件的排列问题.正确答案：B解法：先排5名志愿者，有种排法；2位老人相邻，用捆绑法，故2位老人的站法有种；2位老人插入5名志愿者中间，且不排在两端，故位置有个；运用乘法原理，总共的排法有种.（5）（文）某城市的汽车牌照号码由2个英文
11、字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有A个 B个 C 个 D个命题意图：考查计数原理及排列组合知识正确答案：AABO（6）（理）若不等式组表示的平面区域是三角形，则的取值范围是A BC D或命题意图：本题考查线性规划的有关知识和形数转化的数学思想方法.正确答案：D解法：在平面直角坐标系中作出表示的平面区域，平移直线，使分别经过和点，分别求出对应的.当时，方程组无解，无区域；当时，区域是点；当时，平面区域是三角形；当时，平面区域是四边形；当时，平面区域是三角形；故的取值范围是或.（6）（文）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是A B C D或正确答案：C（7）（
12、理）如果正数满足，那么A，且等号成立时的取值唯一B，且等号成立时的取值唯一C，且等号成立时的取值不唯一D，且等号成立时的取值不唯一命题意图：考查均值不等式的应用及特殊与一般数学方法的应用.正确答案：A解法：正数满足，等号当且仅当ab2，cd2时取到，且等号成立时的取值唯一.（8）（理）对于函数，判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上增函数；命题丙：在上是增函数，能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是A B C D命题意图：考查基本初等函数（对数函数、二次函数和三角函数）的图像和性质、简易逻辑以及分析问题和解决问题的能力.正确答案：D解法：对于函数，设，故，故函数不能使命题丙为真.对于函数，或-1故函数不能使命题甲为真.对于函数，容易证明使命题甲、乙、丙均为真.（8）（文）对于函数，判断如下两个命题的真假：命题甲：是偶函数；命题乙：在上是减函数，在上增函数；能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是A B C D正确答案：C教学建议：2007年北京高考数学试题选择题体现了以下几个方面的特点：注重考查数学的基本概念与基本方法；注重对数学能力的考查；在考查知识与能力的同时渗透对数学思想方法、数学语言相互转化及数学应用能力的考查；选择题难度较低，使学生解答之后有成就感，有利于稳定考生
