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1、排列、组合问题几大解题方法1 分类法1（湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目 不超过2 个,则该外商不同的投资方案有 （ ）A.16 种 B.36 种 C.42 种D.60 种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有Ci - A2 = 36种34方案，二是在三个城市各投资1个项目，有A3 = 24种方案，共计有60种方案，选D.42 间接法.2（福建卷）从 4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1 名女生，则选派方案共有（A） 108 种（B） 186 种（C） 216种（D） 270种解析：从
2、全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有A3 -A3=186种，选B.743. 捆绑法3. （北京理）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排， 2位老人相 邻但不排在两端，不同的排法共有（ ）A. 1440 种B. 960 种C. 720 种D. 480 种解析：5名志愿者先排成一排，有A5种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右5顺序，共有2-4- A5 =960种不同的排法，选B。54. 插空法4. （重庆卷）高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目， 2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A）1800（B
3、）3600（C）4320（D）5040 解：不同排法的种数为A汽=3600,故选B5. 占位法6. 调序法例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+l）（m+2）n = n！ / m！；解法二：（比例分配法） An/Am .nm7. 平均法与分配原则7.（全国II） 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿（A） 150 种（B）180 种（C）200种（D）280种C3C1C1解:人数分配上有1,2,2与1丄3两种方式，若是1,2,2,则有5 2 1 x A? =60种，若是1,1,3,A232C1C2C2 则有十4 2x A3
4、=90种，所以共有150种，选AA2328. 隔板法：常用于解正整数解组数的问题.9. 定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有A rAk-rrn 一 r例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定 在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：AmT ；不在某一位置上：Am - Am_1或A m + A 1 -Am-1 （一类是不取出 n1nn1n-1 m-1 n-1特殊元素a,有A ：，类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1 n -1个元素中取m-1，这与用插空法
5、解决是一样的）10. 指定元素排列组合问题.i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内。先C后A策略，排列CrCk-rAk ；组合CrCk-r .r n - r kr n - r11. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内。先C后A策略，排列C kAk ；组合C k.n-r kn-riii从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合） 都只包含某r个元素中的s个元素。先c后a策略，排列C；C:-；Ak ；组合CrCn - r.II. 排列组合常见解题策略： 特殊元素优先安排策略
6、；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的 策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；正难则反，等价转化策略; 相邻问题插空处理策略； 不相邻问题插空处理策略;定序问题除法处理策略;分排问题直排处理的策略;“小 集团”排列问题中先整体后局部的策略；构造模型的策略2. 组合问题中分组问题和分配问题. 均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar （其中A为非均匀不编号分组中分法数）如果再有K组均匀r分组应再除以Ak.k例: 10人分成三组，各组元素个数为2、4、4,其分法种数为C 2C4C4/A2 = 157
7、5 .若分成10842六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为C 1C 1C2C2C2C2/A2-A4109864224 非均匀编号分组：n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其 分法种数为A Amm例： 10 人分成三组，各组人数分别为 2、 3、 5，去参加不同的劳动，其安排方法为：C 2 C3 C5 A3 种.10853若从 10 人中选 9 人分成三组，人数分别为 2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有 C 2C 3C 4A3 种10853 均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其 分法种数为A / Ar -
8、 Am .rmC 2C 4C 4例：10人分成三组，人数分别为2、4、4,参加三种不同劳动，分法种数为一10 8 4 A3A232 非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为A=Cm1 CmmCm + + +)nn-m.n-(m + +.+mk_)例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5,其分法种数为c 2C3C5 = 2520若从10人中选1085出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3,其分法种数为C 1C2C3 = 12600 .10 9 73. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立
9、重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：P(E = k) =Ckpkqn-k 其中k = 0,1,n, q = 1 - p n于是得到随机变量E的概率分布如下：我们称这样的随机变量E服从二项分布，记作gB (np)，其中 n，p 为参数，并记Ckpkqn-k = b(k;n-p).n二项分布的判断与应用. 二项分布，实际是对n次独立重复试验关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且 每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有 两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布
10、列.4. 几何分布：“g = k ”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验 时事件A发生记为A ,事A不发生记为A ,P(A ) = q，那么P(g = k) = P(A A) 根kkk1 2k-1 k据相互独立事件的概率乘法分式：p(g = k) = P(A )P(A )P(A )P(A ) =qk-ip (k = 1,2,3,)于是12k -1k得到随机变量g的概率分布列.g123 k Pqqpq2p qk-1p 我们称服从几何分布，并记g(k,p) =qk-p，其中q = 1 - p. k = 1,2,35. 超几何分布：一批产品共有N件，其中有M (MVN)件次品，
11、今抽取n(1 n N)件， 则 其 中 的 次 品 数 是 一 离 散 型 随 机 变 量 ， 分 布 列 为P忆=k)=- MI CN MI -(0 k M,0 n-k N-M)-分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品 -nN中取n-k件的取法数，如果规定m V r时C r = 0，则k的范围可以写为k=0, 1,，n.m超几何分布的另一种形式:一批产品由a件次品、件正品组成，今抽取n件(lWnWa+b), 则次品数的分布列为P(g = k) =k = 0,1,n.Cna+b超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数服从超几何分 布若放回式抽取，则其中次品数耳的分布列可如下求得：把a + b个产品编号，则抽取n次共有(a + b)n个可能结果，等可能：(n = k)含Ckakbn-k个结果，故 n即耳B(na ).我们先为k个次 a + bCk a kbn-ka aP(n = k) = n=Ck()k(1 -)n - k,k = 0,1,2, .,n，(a + b)nn a + ba + b品选定位置，共Ck种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法可 n以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，p忆=k)P(n = k)，因此二项分布可作为超几 何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.
